莫比乌斯不变空间上复合算子若干问题

Operator theory and operator algebra on function spaces is one of very important branchs of mordern mathematics, composition operator is a important subject in this field. Because composition operator provide some examples for general operator theory, moreover the properties of composition operator strongly depend on the corresponding function space, thus operator theory is related with the classcial function theory. Mobius invariant function spaces are important function spaces, the theory of composition operator on these spaces is not plentiful. In this project, we will characterize various properties of composition operator mapping into Besov spaces B_p, Q_p spaces by phi^n; study some properties of the difference of composition operators C_phi-C_psi on Mobius invariant spaces by phi^n-psi^n, the topological structure of spaces generated by composition operators. These will provide a new way for studying the theory of composition operator on Mobius invariant function spaces.

函数空间上的算子理论与算子代数是现代数学的重要分支之一，而复合算子是其中一个重要的研究对象，备受学者关注。 这是因为它不仅为一般算子理论的研究提供实例，更为重要的是复合算子的性质强烈依赖于相应的函数空间，从而在算子理论与经典函数理论之间建立了内在联系。莫比乌斯不变空间是一类重要的函数空间，其上的复合算子的研究还不完善。 本项目我们将利用phi^n来刻画映到Besov空间B_p，Q_p空间上复合算子C_phi的各种性质； 利用phi^n-psi^n来研究莫比乌斯不变空间上复合算子差分C_phi-C_psi的各种性质； 研究莫比乌斯不变空间上复合算子生成空间的拓扑结构。这些将为莫比乌斯不变空间上复合算子理论研究提供一种新的途径。

函数空间上的算子理论与算子代数作为现代数学的重要组成部分与许多数学分支有着重要联系。而复合算子不仅为一般算子理论的研究提供例子，更为重要的是该算子与相应的区域及空间有关。通过对它们的研究对于寻找算子理论与函数空间理论之间的内在联系具有非常重要的意义。.本项目研究了一些解析函数空间上复合算子差分，给出了复合算子差分的有界性、紧性及本性范数多种形式刻画。特别地，利用 phi^n-psi^n 刻画了C_phi-C_psi在Bloch空间上的紧性及本性范数。研究了Hardy空间之间复合算子差分，部分回答了Saukko 在2011年提出的一个公开问题。研究了一些解析函数空间上加权复合算子，给出了加权复合算子有界性、紧性及和本性范数多种形式刻画。特别地，利用u phi^n 刻画了加权复合算子uC_phi在Bloch空间上的范数及本性范数。研究了一些解析函数空间上加权复合算子差分，利用u phi^n-v psi^n 刻画了加权型空间上uC_phi-vC_psi的各种性质。利用样条集，伪r-网等多种方式研究了对数Bloch空间上复合算子的下有界性。研究了Dirichlet型空间在对数Bloch空间范数下的闭包，并刻画了从对数Bloch空间到该闭包复合算子的有界性、紧性。另外，还研究了一些解析函数空间Volterra型积分算子的本性范数，Morrey型空间及相应的Carleson嵌入问题，Hardy-Sobolev空间上游荡子空间及某类乘子的换位以及相似性。.本项目的研究丰富了函数空间上复合算子的研究内容，完善了复合算子理论，推动了复合算子理论的发展。