无限时滞随机泛函微分方程及其在种群动力系统中的应用

随机微分方程已经广泛应用于各种领域的研究，并获得相当的成功。但对于无限时滞随机泛函微分方程的研究尚还处于起步阶段，很多实际问题都要用到。本项目将系统研究无限时滞随机泛函微分方程理论及其在种群动力系统中的应用。从所周知，相空间的处理是无限时滞泛函微分方程的关键。本项目将以满足一些公理条件的抽象相空间为基础，研究其上无限时滞随机泛函微分方程解的存在唯一性、稳定性及有界性等渐进性质。我们主要用到随机Razumikhin定理，连续与离散Doob鞅不等式，指数鞅不等式，连续与离散半鞅收敛定理，Borel-Cantelli定理，Bahabi不等式等等工具。同时将所得结论应用到无限时滞随机种群动力系统，研究种群的存在性，种群密度的持久性等渐近性质。在确定性种群系统中出现的周期解、混沌等现象，我们将探索其对应的随机系统中解的相关性质。

近年来，无限时滞随机微分方程及其应用的研究在国内外得到广泛关注。本项目主要研究无限时滞随机泛函微分方程解的轨道性质及相关判别标准，并将研究结果应用到种群动力学、随机神经网络、复杂供应链网络等随机模型上，获得一些较好的判别条件。主要研究成果有：一是研究无限时滞随机Kolmogorov型方程的正整体解以及轨道性质，得到一组矩稳定和轨道稳定的判别准则，并将相应的结论推广到中立型随机泛函微分方程；二是对随机Lotka-Volterra种群动力系统进行了研究，获得了正整体解存在以及一些轨道性质的充分性判别条件，并将结论应用到随机旅游生态系统；三是对马尔可夫调制的随机Grossberg-Hopfield神经网络模型的动力学性质进行了研究，获得了其为p阶矩指数稳定的代数式判别准则，并给出了其数值模拟；四是对带马尔可夫调制的随机神经网络系统和复杂供应链网络系统的稳定性进行了研究，得到了关于输入状态稳定的判别准则。