子群共轭度及链性质与群结构的研究

To study the structure of the finite groups is always one of the important subjects by the properties of the subgroups in the finite group theory. The project under research mainly focus on the influence of the subgroup conjugacy degree and the properties of the chain of subgroup on the structure of a finite group by using the quantitative analysis method and the local analysis method. The main research contents are as follows:. (1) We investigate the influence of the subgroup conjugacy degree on the structure of finite groups;. (2) We study the influence of the properties of the join of some conjugate subgroups on the structure of finite groups;. (3) We study the influence of the maximal chain of subgroups on the structure of finite groups.. The aim is to study the relationship between the subgroup conjugacy degree and the structure of finite groups and further describe the p-nilpotent groups, p-supersolvable groups, solvable groups and a number of important group classes and saturated formations, and unify and generalize some results at home and abroad. The research of this project will enrich the contents of the solvable group theory.

通过子群的性质来研究有限群的结构一直是有限群论中的重要课题之一。本项目综合运用数量分析法和局部分析法来研究子群共轭度及链性质对群结构的影响。主要研究内容为：. （1）研究子群共轭度对群结构的影响；. （2）研究共轭子群对的性质对群结构的影响；. （3）研究极大子群链对群结构的影响。. 目的是考查子群的共轭度与群结构的关系以及对p-幂零群、p-超可解群、可解群等一些重要的群类及饱和群系有进一步的新刻画，从而推广、统一国内外此方面的结果。本项目的研究将丰富可解群理论的研究内容。

本项目通过子群的性质来研究有限群的结构，研究内容将丰富可解群理论。我们主要研究了子群共轭度、二共轭元生成的子群以及极大子群链对有限群结构的影响。讨论了H在<H,H^g>中的广义正规性，给出了CSQ-正规子群的概念，利用子群的CSQ-正规性，我们得到群幂零性与超可解性的一些判别条件，从而推广、统一了一些结果；研究了H在<H,H^g>中极大时，此时群的结构。得到了H为极小子群，可解子群，p-子群，Sylow p-子群以及循环子群时，<H,H^g>的结构，进而得到大群的性质；分析了子群共轭度的取值范围并得到一些特殊群类的子群共轭度，如二面体群D_{2n}，其中为奇数，也研究了元素共轭度与群结构的关系，得到了群G元素共轭度大于等于1/5且与A_5,A_6,A_7,PSL(2,7)无关，则G是可解的。此外，利用有限群的一个Sylow子群极大子群链的pi拟正规嵌入性，得到群p-幂零，超可解的一些充分条件。最后引入新的广义正规性--几乎CAP-子群，获得一些群类的充分必要条件。同时计算出了GF(q)（q为奇素数的方幂）上的辛群和正交群的essential 2-rank。