随机赋范模的遍历性问题研究

The theory of random normed modules which is one of the central frameworks in the theory of random metric spaces, is a randomnization of the classical normed space endowed with module structure, and plays an important role in Banach spaces theory, ultrapower Lebesgue-Bochner function spaces theory, conditional risk metric theory etc. The research on ergodicity problems for random normed modules is a novel and important topic in the field of random metric spaces. This project aims at studying ergodicity problems for complete random normed modules by using module structure methods in random normed modules, and will give two ergodic characterizations for a complete random normed module with Schauder basis to be random reflexive；furthermore, based on these, comprehensive considering the Banach space structure and the module structure of random normed modules, we shall explore the Sucheston ergodic problem in classical analysis from the viewpoint of random normed modules.The successful study of these problems will not only enrich and perfect random metric space theory but also bring some referential ideas and methods to solve some important problems in the classical analysis from the viewpoint of random metric space theory.

随机赋范模是随机度量理论的核心框架之一，是加了模结构的经典赋范空间的随机化, 在Banach空间理论、超幂的Lebesgue-Bochner函数空间理论、条件风险度量理论等领域中有着重要的作用。随机赋范模的遍历性问题研究是随机度量空间理论中新颖而又重要的研究课题之一。本项目旨在综合运用随机赋范模中的模结构方法，来较为系统地研究完备随机赋范模上的遍历性问题，试图给出两种具有Schauder基的完备随机赋范模关于随机自反的遍历刻画；并在此基础上，综合考虑Banach空间结构、随机赋范模的层次结构、模结构的相融性，从随机赋范模的角度来探索经典分析中的Sucheston遍历问题。这些问题的突破或解决不仅可以丰富和完善随机度量空间理论，而且为从随机度量空间理论的角度来解决经典分析中的一些重要问题提供可借鉴的思想和方法。

随机赋范模是经典赋范空间的随机化，是随机度量空间理论的核心框架之一且有着广泛的应用背景. 在本项目中，我们从Banach空间结构和完备随机赋范模的模结构入手，建立经典算子理论和随机线性算子理论之间的深刻联系，针对随机赋范模上随机线性算子的遍历性问题展开了研究.首先，按照本项目原定计划，我们运用随机赋范模模结构的思想和方法，重点讨论了随机线性算子Lp-遗传性的相融性，并在此基础上推广了经典空间中一系列遍历收敛定理，特别是给出了随机赋范模关于平均遍历性的刻画.其次，随着较为深入地分析随机赋范模的模结构和层次结构，再结合一些拓扑技巧，我们还构造性地证明了每一个几乎处处有界随机线性算子都存在唯一的Lo -线性模数，并讨论了Lo -线性模数的特性，进一步，在此基础上证明了随机线性算子半群关于遍历性的一个重要命题. 最后，基于随机局部凸模上的两种拓扑我们还研究了随机局部凸模上的四种可能的连续模同态之间的关系，并构造反例说明其中的可数连接性质是必要的. 这些工作不仅基本上完成了本项目的研究任务，而且为我们从随机度量空间理论的角度来解决经典分析中的一些问题提供了新的手段.