两种拓扑下随机赋范模理论的研究

Motivated by the applications of random normed modules to conditional riskmeasure, based on the new work of the theory of random normed modules under twokinds of topologies, the project is focused on the further study of theory ofrandom normed modules under two kinds of topologies. First, the notion of orthodox is introduced for a subset of a random normed module, and then the connections.between each bounded closed L^{0}- convex subset of a random normed module is orthodox and this random normed module is random subreflexive are studied undertwo kinds of topologies; Then a nonconvex generalizations of Bishop-Phelps theorem in a random normed module is discussed under two kinds of topologies,respectively. It will be proved by the hyperplane separation theorems in complete random normed modules under the locally L^{0}- convex topology, Ekeland variational principle in complete random normed modules, and the relations between some basic results derived from two kinds of topologies for a random normed module.

受随机赋范模理论在条件风险度量理论中的应用启发，继随机赋范模理论在两种拓扑下所取得的最新成果基础上，本项目对两种拓扑下随机赋范模理论展开进一步的研究。 首先研究随机赋范模的子集为“规则”的相关问题， 我们将在随机赋范模上给出子集为“规则”的定义，然后在两种拓扑下研究随机赋范模的任意有界的闭L^{0}- 凸子集均为规则的与该随机赋范模为随机次自反之间的内在联系；再者，研究在两种拓扑下随机赋范模上Bishop-Phelpsd定理的一个非凸推广定理，我们将利用随机赋范模上局部L^{0}- 凸拓扑下的超平面分离定理、完备随机赋范模上的Ekeland变分原理以及两种拓扑下基本结果之间的关系来完成它的证明。

随机度量理论起源于概率度量空间理论。但由于概率赋范空间通常是非局部凸空间再加上其自身的结构太少，使得随机度量理论缺乏必要的分析工具，发展处于停滞不前的状况。1999年， 郭铁信教授抓住随机赋范空间特有的几何结构，提出了随机度量空间与随机赋范空间的一种新版本，并在此基础上建立了随机度量理论的核心概念——随机赋范模、随机局部凸模。目前，随机赋范模、随机局部凸模及随机共轭空间理论已经构成了随机度量理论的核心部分。 2009年以前，随机赋范模及其随机共轭空间均赋予一种自然的拓扑。在2009年，奥地利著名的金融工程与风险管理专家D.Filipovic等人首次将随机赋范模理论应用到条件风险度量理论的研究。他们另一个重要的贡献是提出了随机赋范模理论中另一个重要的拓扑，即局部凸拓扑。由此，随机赋范模理论可以在两种拓扑下进行研究。. 该项目继续随机凸分析的研究。主要结果如下：(1)在2012年建立的完备随机赋范模上的Ekeland变分原理基础上，我们证明了在局部凸拓扑下S的局部锥支撑点集在S的边界中稠密，其中S是随机范数模E的闭子集而且S具有可数连结性质。(2) 证明了该结果是之前建立的完备随机赋范模上Bishop-Phelps定理的一个非凸推广。 (3)证明了在自然拓扑下完备随机度量空间上的Ekeland变分原理与Caristi不动点定理是等价的. 再者，利用两种拓扑下基本结果之间的关系，证明了在特殊的随机度量空间---随机赋范模上，两者在两种拓扑下都是等价的；最后由完备随机赋范模上的Caristi不动点定理，我们在两种拓扑下建立了完备随机赋范模上的方向压缩不动点定理。