随机赋范模理论在两种拓扑下的进一步研究

Motivated by the applications of random normed modules to conditional risk measures, conditional optimization and the local theory of Banach spaces, the project is focused on the further study of theory of random normed modules under two kinds of topologies, namely the (ε,λ)-topology and the locally L^{0}-convex topology. First, we study the stability of ε-isometries in random normed modules. In this process, we not only need the latest results of geometry of random normed modules, but also need to study Gateaux differentiability and Fréchet differentiability of functions on random normed modules. Then, using the results above we study the optimization problems of some important conditional risk measures, such as conditional entropic risk measure and conditional mean-deviation risk measure. We need to take advantage of the two kinds of topologies on random normed modules to solve the problems above, which is the specific research pattern of theory of random normed modules.

受随机赋范模理论在条件风险、条件优化和Banach空间局部理论中应用的启发，本项目将在两种拓扑下进一步研究随机赋范模理论，即(ε,λ)--拓扑和局部L^{0}--凸拓扑。首先，我们研究随机赋范模上ε--等距的稳定性问题。在这过程中，我们不但需要随机赋范模几何学的最新成果，而且还需要研究随机赋范模上映射的Gateaux可微性与Fréchet可微性。其次，利用上面所得到的结果，我们研究几类重要的条件风险度量的优化问题，例如条件熵风险度量，条件偏离风险度量等。如上内容均需要在随机赋范模的两种拓扑下来进行研究，这也是随机赋范模理论所特有的研究方式。

随机赋范模是经典赋范空间的随机化. 与经典泛函分析不同的是随机赋范模可以赋予两种不同的拓扑,即（ε,λ）-拓扑和局部L0-凸拓扑, 而在研究的过程中, 我们必须同时考虑这两种拓扑才能深入的研究随机度量理论. 本项目就是在此背景下展开的. 我们获得的主要结论概括如下：第一，我们建立了两种拓扑下随机局部凸模的两类随机共轭空间的精确关系, 在随机局部凸模上建立了完整的Fenchel-Moreau对偶表示定理；第二，我们研究了L0-凸条件风险度量的连续性和次可微性定理；第三，将经典的Banach空间上等距算子非线性扰动的结论推广到随机赋范模的框架；在项目的执行过程中, 我们发现以上结论均依赖于这两种拓扑的选择.. 这些问题的突破不仅可以丰富和完善随机度量空间理论，而且对条件风险度量理论的进一步研究铺平的道路.