基于时滞反应扩散方程研究神经网络的动力学行为

Reaction-diffusion equation is one of the basic equations, which can describe the motion of the material in nature. With the deepening of the research, it is found that reaction-diffusion equations have unceasingly involved and covered many fields such as chemistry, physics, medicine and biology, so they have a strong practical background. Since neural networks have great potential in many application fields，this project aims to establish a more realistic neural networks based on reaction-diffusion equations with delay, revealing the complexity of neural network dynamics and exploring the evolution mechanism and inherent law of neural networks. According to nonlinear system theory and partial functional differential theory, on the basis of numerical simulations, this project will (1) establish delayed reaction-diffusion neural networks based on the actual situation, researching the stability, bifurcation and pattern (2)analysis sensitivity (3)study the parameter uncertainty and multi parameter bifurcation, effects of delay and diffusion on neural network dynamics. The implementation of this project not only has important significance to promote the development and improvement of neural network theory, but also provides a new way of thinking for neural network modeling.

反应扩散方程是描述自然界物质运动的基本方程之一. 随着对反应扩散方程研究的深入，人们发现其所涉及的问题涵盖了化学、物理学、医学和生物学等众多学科，因而也具有很强的实际背景. 由于神经网络在诸多应用领域的巨大潜力，本项目力求通过建立更符合实际情况的时滞反应扩散神经网络，揭示神经网络动力学行为的复杂性，探索神经网络的演化机制和内在规律，以促进神经网络等相关领域的理论和应用研究的发展。本项目借助非线性系统、偏泛函微分方程等理论，结合数学模型分析和计算机模拟等手段从事以下研究：(1)建立符合实际情况的时滞反应扩散神经网络模型，研究其稳定性、分岔、斑图问题；(2)基于所建模型，对反应扩散方程进行灵敏度分析；(3)研究神经网络参数不确定性及发生多参数分岔的问题，时滞和扩散对系统动力学行为的影响等.本项目的实施不仅对推动神经网络理论的发展与完善有重要的意义，而且为神经网络建模提供了新的思路.

神经网络包括生物神经网络和人工神经网络，对此类复杂网络的动力学分析研究大部分是针对常微分系统。实际上，现实中的大多数网络都不是静止不动的，而是具有空间上的变化。例如，人工神经网络中电子在一个非均匀的电磁场中运行时，扩散现象不可避免。因此，建立新的反应扩散网络模型，分析其稳定性、分岔、周期性等动力学行为具有重要的意义。本项目通过建立一类新的时滞反应扩散网络模型来揭示分岔机理，并结合专业方向和教学工作，探索神经网络在统计学中的应用。主要完成工作包括：1. 运用统计方法收集整理和分析数据，采用核主成分分析法，构建了一个比较完整、有效的区域韧性评估体系。然后，构建神经网络模型进行敏感性分析，计算各个指标对区域韧性发展的影响力大小。最后，运用时间序列模型对部分发展指标值进行预测；2. 提出了一类具有非精确参数的反应扩散模型，将模型中的非精确参数用区间参数表示，并利用区间值方法引入区间参数的函数形式，解决了理论分析中不确定参数的表示问题。之后，讨论了系统稳定性和发生Hopf分岔的条件。数值分析结果表明，系统的稳定域以及波动的周期和振幅会随着非精确参数在区间范围内的变化而改变，因此，非精确参数对系统的稳定性有影响。模型中的扩散项也影响着周期解的振幅；3. 提出了一类具有分数阶的时滞神经网络，通过构造一个较为新颖的控制器函数，给出了系统同步的充分条件，估计出了调节时间，并通过数值模拟验证了所提方法的正确性和可行性；4. 平衡点的个数及其稳定性影响着神经网络的应用范围和领域，尤其是在联想记忆方面。在关于神经网络的研究中，激活函数决定着网络的输入输出关系，也决定着系统平衡点的个数。我们以一类二元神经网络为例，采用双曲正切函数作为激活函数，并以激活函数中的增益参数为分岔参数研究具有扩散项的时滞神经网络的动力学行为。首先，讨论了系统平衡点的情况。接着，利用偏泛函微分方程理论，给出了系统发生叉形分岔和Hopf分岔的条件。发生叉形分岔意味着系统的平衡点个数会发改变。因此，在神经网络的实际应用中，可以通过改变激活函数中的参数来控制系统存储记忆或模式的多少。. 该项目的实施与完成，丰富了具有反应扩散项的时滞网络的动力学研究内容，为进一步深入研究复杂网络的动力学行为与控制提供了可以参考的方法，对促进信息学科等相关领域理论的应用与发展具有积极作用。