具空间结构时滞反应扩散方程的动力学研究

It is well known that, in the fields of nonlinear phenomenon, bifurcation is more important, which is related to the phenomenon that the entirely different results by the small changes of some objective conditions. The study of bifurcation problems in population models will help us to better understand the effect of parameters, e.g., survival space and maturation period of species, on the population dynamics, and hence, to control the species invasion and disease spreading. In this project, by using the theory of classical dynamics, topology ,functional analysis, computational mathematics and so on, we will study the complex dynamics of reaction-diffusion equations under the framework of nonlocal delay and spatial heterogeneity, which mainly includes the stationary bifurcation and dynamic bifurcation. More precisely, we mainly consider steady state bifurcation, saddle-node bifurcation, Hopf bifurcation and global Hopf bifurcation.Through these research, we can more clearly show that the change of parameter effects the dynamic of the system, develop the related research methods to explore new ideas, theories and methods in mathematics and cross applications, and promote the development of the theory of bifurcation of delay reaction diffusion equations.

在非线性科学中，分岔问题的研究是比较重要的，它反映了现实世界中某个或某些因素的细微变化却能对物质的变化产生巨大影响。种群动力学中分岔研究可以帮助我们了解某些参数(比如生物的生存空间和成熟期等)对种群动力学产生的变化，通过调控这些数据可以使得物种向着人们所期望的方向发展。本项目将在非局部和空间异质的框架下，通过利用经典的动力系统理论，拓扑、泛函分析、及计算数学等相关知识来研究时滞反应扩散种群系统的动力学行为，包括静态分岔和动态分岔，其中静态分岔又包括稳态解分岔和鞍结点分岔，动态分岔包含Hopf分岔，全局Hopf分岔等。通过这些研究，可以更清楚的看到参数变化时系统动力学行为发生的变化，发展相关的研究方法探索数学及其交叉应用中的新思想、新理论和新方法，促进时滞反应扩散方程在分岔方面理论的发展。

本项目在非局部和空间异质的框架下，主要研究了种群动力学的分岔现象。研究结果可以帮助我们了解某些参数(比如生物的生存空间和成熟期等)对种群动力学产生的影响，通过调控这些数据可以使物种向着人们所期望的方向发展。首先我们研究空间异质环境下的年龄结构模型，通过引入加权特征值问题并利用Lyapunov-Schmidt约化的方法，得到了空间非齐次稳态解的存在性，并给出了解的具体表达式，接着通过无穷小生成元谱的分析得到了非齐次稳态解分岔的稳定性，结合已经研究过它的全局吸引性，最终给出了弱竞争下稳态解的全局稳定的结果。接着对这个空间异质环境下的年龄结构模型再引入对流项，通过利用Krein-Rutman定理,我们得到了年龄结构里面的时滞项不影响稳态解的稳定性，这样我们可以根据不具时滞的模型研究得到半平凡稳态解和共存稳态解的稳定性，从而得到全局稳定的分类。这里面年龄结构对系统的影响主要体现在解的存在性上。.我们还考虑了具有时空非局部的Lotka-Volterra竞争模型，对于时滞很小的情形，我们利用线性链式技巧把系统化成高维系统，然后利用几何奇异摄动的方法得到了该系统行波解的存在性。当考虑出生率是关于空间位置的函数时，系统变成空间异质环境和空间非局部结合的模型，这个系统比较复杂，我们可以得到半平凡稳态解和共存稳态解，接着研究了在它们附近出现的Hopf分岔。之后，考虑到种群会向资源更丰富的地方迁移的天性，我们考虑了具有对流项的扩散，在假设对流系数和扩散系数成比例的条件下，我们可以研究了系统的稳态解，以及其附近Hopf分岔出现的条件。.此外，在学习拓扑度理论的同时，我们结合拓扑度方法、上下解方法研究了具有Crowley–Martin功能性反应的捕食模型，得到了正周期解的存在唯一性和全局吸引性.