空间周期时滞非局部反应扩散方程的动力学研究

In the recent years, quite a few studies have been devoted to delayed nonlocal reaction-diffusion equations with homogeneous environment. However, the real environments are generally heterogeneous due to natural phenomena or exposure to artificial distributions. It is very important to understand how heterogeneities influence the ecological dynamics. Clearly, a simple form of heterogeneous environment is the periodic habitat. In this project, we will study the dynamics of delayed nonlocal reaction-diffusion equations in spatially periodic habitats. Our main concerns are the existence, asymptotic behavior, uniqueness and stability of pulstating traveling front solutions and entire solutions. Moreover, we will study the dependence of the minimal wave speed on the spatial periodicity, delay and nonlocal effect. In particular, we will consider the essential differences of the dynamics between the spatially discrete and continuous delayed nonlocal reaction-diffusion equations in spatially periodic habitats. This project arises from many practical problems in some applied fields, such as biology, epidemiology and so on. It has a very important theoretical significance and application value. A definite breakthrough in the theory and methods may be made and contribute to the further development of the theory of reaction-diffusion equations.

时滞非局部反应扩散方程的研究正处于迅速发展的阶段。现有的模型大多考虑的是均衡环境的情形，而实际问题常常需要考虑环境的非均衡性特别是周期性对系统动力学行为的影响。本项目拟研究空间周期环境下时滞非局部反应扩散方程的动力学行为，主要内容包括：研究空间周期时滞非局部反应扩散方程中波的传播现象，发展(脉动)行波解问题的一般理论方法；研究空间周期时滞非局部反应扩散方程的行波解之间的交互作用及相关的整体解问题，建立整体解的抽象结果并发展相关方法；特别地，研究空间周期性、时滞及非局部效应等因素对系统动力学行为的影响，分析这些结果与空间周期时滞格微分方程动力学行为之间的本质差异。本项目源自于生物学、传染病学等领域的许多实际问题，具有重要的理论意义和应用价值。项目的完成将为周期环境下反应扩散方程的动力学研究提供一些新的研究思路和方法，进一步丰富反应扩散方程理论。

空间周期性、时间滞后(简称时滞) 以及空间非局部效应等现象广泛存在于生态和传染病系统中。本项目主要研究了空间周期环境下时滞非局部反应扩散方程的动力学行为，特别地，研究了空间周期、时滞以及非局部效应等因素对系统动力学行为的影响。所取得的主要研究成果包括：针对空间周期的格微分方程(即空间离散的反应扩散方程)，建立了熄灭波型与合并波型的整体解的存在性；并且在双稳情形下，证明了熄灭波型的整体解的唯一性与稳定性。针对一类空间周期的时滞非局部格微分方程，建立了行波解的存在性、唯一性与稳定性；同时研究了空间周期与时滞对系统动力学行为的影响，结果表明与均衡环境情形相比，空间的周期性会加快传播速度，而时滞会降低传播速度。针对一类具有时空时滞的非局部扩散方程，在单稳情形下，构造出了一些新型的整体解，并研究了它们与行波解之间的关系；在双稳情形下，证明了整体解的唯一性、稳定性以及对相关参数的连续依赖性。针对一类时滞反应扩散系统，在非拟单调情形下，证明了行波解的存在性及它的上收敛性；同时，在非退化的情形下，证明了整体解的存在性及各种定性性质。. 课题组共发表论文11篇（SCI已检索9篇，SCI待检索2篇），其中在美国数学会期刊Transactions of the American Mathematical Society上发表论文 1篇；在微分方程、动力系统领域期刊Journal of Differential Equations与J. Dynam. Differential Equations上各发表论文2篇；在CAMBRIDGE UNIV PRESS 出版的期刊 European Journal of Applied Mathematics与Proc. Royal Soc. Edinburgh (A)各发表论文 1篇；在美国数学科学研究所(AIMS)的期刊Discrete Cont. Dyn. Systems, A 上发表论文 1篇。