两类非线性色散方程 N-极解的存在性和稳定性研究

As the first step in the study of soliton resolution conjecture of dispersive equations, we investigate a special type of multi-solitons called N-pole solutions. N-pole solutions behave at large time as sum of N solitons with the same wave speeds, each solitons posses logarithmic relative distance and strong interaction. We study in this project the existence and stability of N-pole solutions of nonlinear Klein-Gordon equation and the cubic NLS equation. This study intends to consider the following questions: (i) The existence of asymptotic N-pole solutions for nonlinear Klein-Gordon equation, such solutions are composed of ground states and excited states, the relative speed assumption of excited states is not needed, which improves the known result； (ii) Cubic NLS equation, the problems of Lyapunov stability of multi-solitons and orbital stability of N-pole solutions. Our study in the stability of NLS multi-solitons makes no explicit use of the inverse scattering formulation of NLS and may probably be extended to other completely integrable systems. The present research is very useful in solving the soliton resolution conjecture of nonlinear dispersive equtions.

作为研究色散方程孤立子分解猜想的第一步，本项目研究一类特殊的多孤立子解称为N-极解。N-极解在时间充分大时趋于N个波速相同的孤立子解的叠加，此时每个孤立子之间的相对距离为关于时间的对数函数并具有强相互作用。本项目研究非线性Klein-Gordon方程和立方次薛定谔方程N-极解的存在性和稳定性问题。将主要研究如下问题：(i)非线性Klein-Gordon方程由基态或激发态构成的渐近N-极解的存在性问题，激发态们的相对速度没有任何限制条件,改进了目前已知的结果；（ii) 立方次薛定谔方程多孤立子解的李雅普诺夫稳定性和N-极解的轨道稳定性问题。研究立方次薛定谔方程多孤立子解稳定性的方法不依赖于反散射方法并可能用于其他完全可积系统。本课题的研究，有助于解决非线性色散方程的孤立子分解猜想。

作为研究色散方程孤立子分解猜想的第一步，本项目研究一类特殊的多孤立子解称为N-极解。N-极解在时间充分大时趋于N个波速相同的孤立子解的叠加，此时每个孤立子之间的相对距离为关于时间的对数函数并具有强相互作用。本项目研究了几类重要的完全可积系统多孤立子解和N-极解的存在性和稳定性问题。具体研究如下问题：(i)非线性Benjamin-Ono方程由基态解构成的渐近N-极解的存在性和唯一性问题，改进了目前已有弱相互作用多孤立子解的存在性结果；（ii)立方次薛定谔方程多孤立子解的李雅普诺夫稳定性和N-极解的轨道稳定性问题。研究立方次薛定谔方程多孤立子解稳定性的方法不依赖于反散射方法并可能用于其他完全可积系统。研究成果已发表在 CVPDE、Nonlinearity、JDE和 Physica D 等学术期刊上。本课题的研究，有助于解决非线性色散方程的孤立子分解猜想。