两类非线性椭圆型方程解的存在性、稳定性与集中性

In this project, we will investigate the following types of nonlinear elliptic equations: (1) Davey-Stewartson equation which has its origin in fluid mechanics; (2) singularly perturbed Davey-Stewartson equation which has its origin in weakly nonlinear geometric optics; (3) nonlinear Schrödinger systems with partial confinement describing Bose-Einstein condensates with multiple states. Compared with the classical Schrödinger equation, a singularly integral operator is involved in the Davey-Stewartson equation and a cigar-shaped potential is involved in the Schrödinger systems with partial confinement. The goal of this project is to further discover the influence of the singular integral term and cigar-shaped potential term on the existence, concentration and stability of solutions to the classical Schrödinger equation(s).

本项目主要研究两类有实际背景的非线性椭圆型偏微分方程（组）的解的存在性、稳定性以及集中性。我们拟研究的主要问题有:（1）源于流体力学的Davey-Stewartson系统解的存在性与稳定性；（2）源于弱非线性几何光学的含奇异摄动Davey-Stewartson系统解的存在性与集中性；（3）源于玻色-爱因斯坦凝聚态物理的带有部分束缚非线性Schrödinger方程组解的存在性与稳定性。从方程结构上看，Davey-Stewartson系统比经典的Schrödinger方程多出一个奇异积分项而带有部分束缚的非线性Schrödinger方程组比经典的Schrödinger方程组多出一个雪茄型位势项。本项目的目标是通过对以上三个问题的研究深刻揭示奇异积分项与雪茄型位势项对经典的Schrödinger方程（组）的解的存在性、集中性和稳定性的影响。

本项目主要研究两类有实际背景的非线性椭圆型偏微分方程（组）的解的存在性、稳定性以及集中性。我们研究的主要问题有:（1）源于流体力学的Davey-Stewartson系统解的存在性与稳定性；（2）源于弱非线性几何光学的含奇异摄动Davey-Stewartson系统解的存在性与集中性；（3）源于玻色-爱因斯坦凝聚态物理的带有部分束缚非线性Schrödinger方程组解的存在性与稳定性。从方程结构上看，Davey-Stewartson系统比经典的Schrödinger方程多出一个奇异积分项而带有部分束缚的非线性Schrödinger方程组比经典的Schrödinger方程组多出一个雪茄型位势项。本项目通过对以上三个问题的研究深刻揭示了奇异积分项与雪茄型位势项对经典的Schrödinger方程（组）的解的存在性、集中性和稳定性的影响。这些结果进一步丰富和完善偏微分方程与变分法领域现有的理论和结果，并给相关实际问题的数值计算和物理实验方向提供重要的理论指导。在本项目的资助下，我们在 Calc. Var. Partial Differential Equation、Journal of Differential Equations、Science China. Mathematics等国内外学术期刊发表论文14篇，圆满完成了本项目的预期目标。