分数微分方程的定性研究

分数微分方程在许多学科领域有广泛的应用，如：流体力学、物理学、电分析化学、自动控制、生物学等。随着分数微分方程的数值计算和应用的迅速发展，其理论研究吸引了国内外许多专家学者的重视，近年来已成为国际上一个活跃的研究领域，许多新的理论问题有待解决。由于分数阶导数和整数阶导数存在本质的差异，因此，整数阶微分方程的一些理论方法不能平行地推广到分数微分方程，如稳定性理论的Liapunov第二方法、发展方程适度解的定义等，周期解的研究也没有实质性的进展，需要探索新的研究途径。本项目的主要内容包括：分数微分方程的初值问题、边值问题、稳定性和周期解的存在性；分数发展方程非局部Cauchy问题适度解的存在性；具有奇异核的Volterra积分方程理论在分数微分方程中的应用。这些问题的解决或实质性的进展将促进分数微分方程理论的发展，也将给分数微分方程的数值计算和广泛应用提供必要的理论基础。

本项目致力于分数微分方程的定性研究。由于分数微分方程在科学与工程的许多学科有广泛的应用，这项研究已成为国际上一个活跃的研究领域。本项目的研究成果包括以下几个方面：.1、我们首次运用临界点理论和变分原理，获得了分数微分方程边值问题解的存在性。.2、我们首次研究了分数微分方程解的吸引性，通过构造特定的解集，并在构造的解集上讨论解的吸引性问题；克服了分数微分方程稳定性研究中的困难，首次给出分数微分方程四种Ulam稳定性概念；并运用不动点方法，讨论了分数常微分方程、积分方程、脉冲微分方程、发展方程的不同类型的Ulam稳定性。.3、系统地研究了分数发展方程的非局部问题和周期边值问题，我们通过引入概率密度函数重新给出了分数发展方程适度解的定义，并指出了前人工作中关于适度解的定义是不正确的；在此基础上，我们建立了分数发展方程非局部问题适度解和极值解的存在性定理，并给出了可控性和最优控制的存在性。.4、我们指出了前人工作中关于分数脉冲微分方程解的形式是不正确的，并且给出了正确的形式，讨论了分数脉冲常微分方程的初值问题和边值问题，以及分数脉冲发展方程的存在性与最优控制。.5、研究了具有时滞的线性和非线性分数动力系统的可控性；研究了一类分数不确定线性系统，获得了鲁棒控制结果。.6、我们首次给出了分数Schrodinger方程适度解的定义、存在性和最优控制；研究了一类分数因果微分方程解的存在性和连续依赖性。. 以上问题的解决或实质性的进展促进了分数微分方程理论的发展，也给分数微分方程的数值计算和广泛应用提供了一些理论基础。