时间分数阶Navier-Stokes方程与扩散方程的定性研究

The mathematical models derived from complex systems are usually characterized by fractional partial differential equations. Due to the wide and deep background of applications, the research on the theory of such equations has become a paramount and active field around the world in the recent years. Based on our previous works, this project intends to do the research of the time fractional Navier-Stokes equations and diffusion equations which are presented as useful models for the description of anomalous diffusion in fluids. We will study the well-posedness and regularity of mild solutions for time fractional Navier-Stokes equations in n-dimension space, the global well-posedness of classic solutions, regularity of weak solutions and controllability for three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations; and discuss the well-posedness and regularity of global mild solutions, existence and regularity of weak solutions and strong solutions, controllability and approximate controllability for time fractional diffusion equations. Then we focus on the study of the relationship between the order of fractional derivative and these properties. The substantial advances and restuls will enrich the theory of fractional partial differential equations and provide some theoretical foundations for numerical computations and extensive applications of fractional partial differential equations.

从复杂系统抽象出来的许多数学模型是用分数阶偏微分方程来描述的。由于广泛而深刻的应用背景，近年来，分数阶偏微分方程的理论研究已成为国际上一个重要的研究领域。本项目拟在前期工作的基础上，研究时间分数阶Navier-Stokes方程和扩散方程，这类方程是刻画流体中存在的反常扩散现象的有效模型。我们将研究在n维空间中时间分数阶Navier-Stokes方程适度解的适定性及正则性，三维不可压缩时间分数阶Navier-Stokes方程经典解的整体适定性和弱解的正则性，以及能控性；研究时间分数阶扩散方程全局适度解的适定性和正则性，弱解和强解的存在性及正则性，以及时间分数阶扩散方程的能控性、逼近能控性；在此基础上，我们将研究这些性质与分数阶导数的阶数之间的关系。这些问题的解决或实质性的进展将促进分数阶偏微分方程理论的发展，也将给分数阶偏微分方程的数值计算和广泛应用提供必要的理论基础。

本项目致力于研究时间分数阶Navier-Stokes方程和扩散方程的适定性。由于分数偏微分方程在科学与工程的许多学科有广泛的应用，这项研究已成为国际上一个活跃的研究领域。本项目的研究成果包括以下几个方面：. 1、对于时间分数阶Navier-Stokes方程，我们将其抽象成分数阶发展方程，给出了方程局部适度解和全局适度解的适定性；利用Galerkin逼近方法分析时间分数阶Navier-Stokes方程的弱解；根据迭代法证明了局部适度解的适定性，讨论了它的Hölder连续性；使用能量方法研究时间分数阶Navier-Stokes方程的全局解；使用调和分析工具研究时间分数阶Navier-Stokes方程的Cauchy问题。. 2、对于时间分数阶扩散方程，研究了具有非局部边界条件的时间分数阶反应扩散方程，我们利用Faedo-Galerkin方法和紧性方法建立了模型弱解的存在唯一性；引入了一个时间分数阶具有Dirichlet边界条件的Keller-Segel模型，证明了该模型的存在性定理和解的Mittag-Leffler稳定性；我们考虑时空分数阶扩散方程的Cauchy问题，利用拉普拉斯变换得到解的表示，并进一步证明了弱解的存在唯一性；研究了有界区域上一类非齐次分数阶扩散方程的倒向问题，在加权Hölder连续函数空间中建立了该问题弱解和古典解的存在性、唯一性和正则性。. 3、研究了抽象空间中分数阶发展方程解的吸引性问题，给出了全局吸引解存在的充分条件，从本质上揭示了分数阶微分方程解的特征，并且例举了整数阶微分方程不具有这种吸引性。. 以上问题的解决或实质性的进展促进了分数微分方程理论的发展，也给分数微分方程的数值计算和广泛应用提供必要的理论基础。