非交换域代数的结构分类

In 2010, Popescu firstly gave the definition of noncommutative domain associated with operator space and developed the operator theory on noncommutative domains. In this program, to get classifications of noncommutative domain algebras, basing on dilation theories of row contraction, we study Wold decompositions of commutative row contractions in noncommutative domains, the structure of noncommutative Hardy algebras, and it is hoped that the researches could be applied in completely positive maps. Firtly, using the minimal isometric dilation and the commutative normal dilation as well as the technique of block-operator matrix, we shall discuss Wold decompositions of trace preserving and commutative row contractions, commutative completely non-unitary row contractions and general operator sequences in noncommutative domains. Which will generalize the results of Popescu and the classification of multi-tuples of operator will be considered. Moreover, we will research the structure of noncommutative Hardy algebras associated to noncommutative domains by use of similarity theory of commutative row contractions, commutative completely non-unitary row contractions. Lastly, fixed points and cones of completely positive maps will be considered by making use of above research results. The target of this project not only contribute to non self-adjoint analytic operator algebras but also can promote the development of multivariable operator theory.

算子空间的非交换域概念是由Popescu在2010年首次引入，自此非交换域上的算子论得到迅速发展。本项目以探讨非交换域代数的分类为主要目标，以行压缩算子的扩张理论为工具，研究非交换域中的多元算子组的Wold分解，非交换Hardy代数的结构，并将其研究结果应用于正规完全正映射的相关问题研究。首先将使用分块算子矩阵技巧和极小等距扩张、交换的正规扩张理论，探讨非交换域中保迹交换行压缩、交换完全非酉行压缩、一般多元算子组的Wold分解形式，延拓并发展Popescu的结果，以期得到其中多元算子组的分类；结合交换行压缩、交换完全非酉行压缩特殊类算子的相似轨道理论，考虑非交换域Hardy代数的结构和分类问题；最后将研究成果应用于完全正映射的不动点集、锥集的表示。这些研究工作将有助于非交换解析算子代数的结构分析，并推动多变量算子论的发展。

在三年的研究中，我们主要利用算子谱理论及扩张理论，研究非交换域代数的结构相关问题，取得了一定进展。一、在交换纯行压缩的刻画的基础上，得到一般交换行压缩的一个刻画，并对Fuglede-Putnam定理进行了推广。由此利用细致的算子分块技巧，给出单位交换算子列所决定完全正映射的不动点的刻画，并给出单位完全正映射的锥集在一定条件下的表示；二、给出两个闭值域算子乘积{1,2,3}-逆序律成立的充要条件的一个新刻画,并按照乘积算子的共轭算子的值域和零空间分别对算子的起始空间和终止空间给出一种新的分解形式，得到算子乘积{1,3},{1,2，3},{1,3,4}-逆的混合逆序律成立的充要条件。同时给出算子方程,的解、正解、实正解存在的充要条件及解的一般形式；三、结合线性化方法和驻留时间依赖的存储函数方法研究了切换离散时间仿射系统的严格无源性，得到了切换离散时间非线性系统具有局部严格QSR-耗散性的充分条件；四、结合非交换域代数中行压缩算子的结构分析的研究，给出非交换Hardy代数的子空间、理想、正锥的性质。.这些研究结果丰富了算子理论与算子代数的理论知识，对多变量算子论的发展增添活力，同时希望关于完全正映射的研究能够对量子信息中的数学问题具有一定的指导意义。