代数群和量子群中的若干问题

我们利用扩张的仿射A型Weyl群的理论已经完全的解决了仿射A型李代数的包络代数的BLM实现问题. 类似的我们希望能够利用扩张的仿射A型Hekce代数的理论去研究量子仿射gln的BLM实现问题. 在仿射的情况, 我们通过引入Double Hall代数的方法证明了量子仿射gln到仿射q-Schur代数的自然代数同态在域Q(v)上是满同态, 其中Q是有理数域, v是不定元. 我们希望能够把这个结果做到整的上面去, 更精确的说, 我们就是研究如何构造量子仿射gln的适当的整形式U, 使得U在仿射q-Schur代数中的像恰好是整的仿射q-Schur代数.我们还要研究仿射q-Schur代数的生成元和关系式以及小q-Schur的表示理论.并且我们还将研究分次Hecke代数和分次BMW代数.

我们证明了量子仿射sln可以嵌入到仿射q-Schur代数的直积当中, 并在一定程度上刻画了量子仿射sln的像, 并且我们提出了一个关于量子仿射gln的BLM实现的猜想. 相关结果发表在2010年的Math. Z.上. . 国际上关于量子仿射gln和仿射q-Schur代数的研究有许多研究论文, 其中大部分工作用的都是几何方法. 最近, 我们用代数的方法对于量子仿射gln和仿射q-Schur代数进行了系统的研究, 完成了一篇长达207页的长篇研究论文, 这篇文章已被London Mathematical Society Lecture Note Series作为专著于2012年底正式出版. 在这本专著中, 我们解决了如下几个问题: 通过引入Double Hall代数的方法证明了有理函数域上的量子仿射gln 到仿射q-Schur 代数的自然代数同态是满射; 利用该结果以及仿射A 型Hecke 代数和量子仿射gln的表示理论, 给出了仿射q-Schur 代数在非单位根时的有限维不可约模分类, 并且利用仿射对称群的理论解决了仿射gln 的普遍包络代数的BLM 实现问题, 从而证明了当v=1时, 我们在这之前提到的BLM实现猜想成立. 另外我们在这方面还有一些后续工作, 相关结果我们已经放到arXiv网上.. 量子gl_2的张量空间是量子gl_2的一类非常重要的模, 因为它包含量子gl_2的许多重要信息. 我们利用小q-Schur代数的表示理论研究了量子gl_2的张量空间作为无穷小量子群的自同态代数在奇数次单位根时的基代数结构, 相关结果发表在2011年的Journal of Mathematical Physics上.. 小q-Schur代数是一类重要的有限维代数, 小q-Schur代数与q-Schur代数的关系类似于无穷小量子gln与量子gln的关系. 我们给出了小q-Schur代数的不可约模的分类, 并给出了它的半单性的分类和奇次单位根时有限表示型的分类, 相关结果发表在2012年的太平洋杂志上.. 司梅给出分圆Birman-Murakami-Wenzl代数的参数是奇异的判别准则，证明了当参数非奇异时分圆Birman-Murakami-Wenzl代数Morita等价于某些Ariki-Koike代数的直和. 这些结果正在整理当中.