量子群表示理论中的若干问题

Our paper about the theory of quantum affine gln and affine q-Schur algebras was published by London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press, as a monograph. Based on this book, we solved two important remaining problems in this book, the related results was published by Advances in Mathematics in 2013 and 2015. We will continue investigate quantum affine gln and affine q-Schur algebras, including Frobenius Kernel of affine type A, the integral form of quantum affine gln, the representation theory of quantum affine gln and affine q-Schur algebras, the canonical basis theory of modified quantum affine gln, presentation of affine q-Schur algebras, etc. We will also study representation theory of little and infinitesimal q-Schur algebras , including Schur--Weyl duality and presentation of the two algebras, etc.

我们关于量子仿射gln和仿射q-Schur代数的理论的一篇长篇研究论文被剑桥大学出版社出版的系列丛书London Mathematical Society Lecture Note Series 以专著的形式发表. 在此基础上，我们解决了该书的两个重要遗留问题，相关结果分别发表于2013年的Advances in Mathematics和2015年的Advances in Mathematics. 我们将继续研究量子仿射gln和仿射q-Schur代数, 其中包括仿射A型的Frobenius核, 量子仿射gln的整形式, 量子仿射gln和仿射q-Schur代数的表示理论, modified量子仿射gln的典范基理论, 仿射q-Schur代数的定义关系式等问题. 我们还将研究小q-Schur 代数和无穷小q-Schur 代数的Schur--Weyl对偶问题, 定义关系式等问题.

我们证明了单位根处的量子仿射gl_n到仿射q-Schur代数的自然代数同态是满同态，并且证明了仿射q-Schur代数的典范基可以提升为modified量子仿射gl_n的典范基；给出了仿射Schur代数的生成元和定义关系式；给出了仿射q-Schur代数在单位根处的不可约模分类；给出了仿射gl_n普遍包络代数的整形式的BLM实现；证明了modified量子仿射sl_n的关于典范基的乘法和余乘的结构常数由量子仿射sl_N的正部分的关于典范基乘法和余乘的结构常数确定，其中n<N，特别的由量子仿射sl_N的正部分的典范基关于乘法和余乘的正性质可以得到modified量子仿射sl_n的关于典范基的乘法和余乘的正性质；给出了仿射gln的Frobenius核的BLM实现，并且构造了仿射小Schur代数和仿射无穷小Schur代数的单项式基和BLM基；给出了q-Schur代数的整形式的生成元和定义关系式；证明了有理函数域上的量子sln到q-Schur代数的自然代数同态保持中心，并且利用A型Hecke代数的中心的基构造了q-Schur代数的中心的基；相关结果发表在Transactions of the American Mathematical Society，International Mathematics Research Notices，Mathematical Research Letters, Journal of Algebra, Communications in Contemporary Mathematics, Journal of Pure and Applied Algebra，International Journal of Mathematics。