量子群及相关代数的表示理论

We have ever written a 173 pages article on quantum affine gln and affine q-Schur algebras,which is accepted by London Mathematical Society Lecture Note Series as a monograph. In this monograph, we proved that the natural algebra homomorphism from quantum affine gln to affine q-Schur algebras is surjective over rational function field by a double Hall algebra approach. Combining this result with representation theory of affine Hecke algebras of type A and quantum affine gln, we classified finite dimensional irreducible modules for affine q-Schur algebras at non-roots-of-unity. Furthermore, using the theory of affine symmetric group, we have solved the BLM realization problem of the universal enveloping algebra of affine gln. We will continue studying the structure theory and representation theory of quantum affine gln and affine q-Schur algebras. Furthermore we will study BLM realization problem of quantum hyperalgebra of type A, representation theory of little q-Schur algebras and infinitesimal q-Schur algebras, and the theory of Lie conformal algebra.

我们曾完成了一篇173页的关于量子仿射gln和仿射q-Schur代数的文章, 该文章已被London Mathematical Society Lecture Note Series作为专著接受发表. 我们在该文章中通过引入Double Hall代数的方法证明了有理函数域上的量子仿射gln到仿射q-Schur代数的自然代数同态是满射, 利用该结果, 以及仿射A型Hecke代数和量子仿射gln的表示理论, 我们给出了仿射q-Schur代数在非单位根时的有限维不可约模分类, 并利用仿射对称群的理论解决了仿射gln的普遍包络代数的BLM实现问题. 我们将继续研究量子仿射gln和仿射q-Schur代数的结构和表示理论. 另外我们还将研究A型的量子超代数的BLM实现问题, 小q-Schur代数和无穷小q-Schur代数的表示理论以及李共形代数的理论.

Deng--Du--Fu在2012年证明了有理函数域上的量子仿射gln到仿射q-Schur代数的自然代数同态是满同态. 一个很自然的问题如何把该结果推广到任何域. 要解决这个问题, 需要构造量子仿射gln的一个适当的整形式. 我们构造了modified量子仿射gln的一个整的子模, 我们证明了它是子代数, 并且证明了它到整的仿射q-Schur代数的自然代数同态是满射，利用该结果我们构造了仿射gln的普遍包络代数的整形式，并证明了它到整的仿射Schur代数的自然代数同态是满射. 该结果发表在2013年的Adv. Math.上. . Belinson--Lusztig--Macpherson在1990 年用几何的方法通过q-Schur 代数实现了量子gln. 现在很自然的一个问题就是如何利用仿射q-Schur 代数实现量子仿射gln. 我们解决了量子仿射gln 的BLM 实现问题. 该结果发表在2015年的Adv. Math.上. . 我们给出了量子gln的整形式的BLM实现; 建立了modified量子gln的典范基和量子gln的正部分的典范基以及q-Schur代数的典范基之间的精确的联系; 给出了仿射q-Schur代数在非单位根的块的分类; 确定了仿射A型Hecke代数的不可约模在仿射Schur函子作用下对应的仿射q-Schur代数的不可约模的Drinfeld多项式; 研究了仿射q-Schur代数的小表示, 相关结果发表在J. Algebra, Commun. Contemp. Math., Pacific J. Math., Algebr. Represent. Theory. . 我们给出了一类Block型李代数的Z^2阶化的中间序列模的分类, 研究了一类Block型李代数, Loop Virasoro代数及W(a,b)代数对应的李共形代数. 相关结果发表在Commun. Contemp. Math., J. Math. Phys., Algebra Colloq.