流形上收敛性问题的研究

通过分析和研究黎曼流形的内在结构, 及欧氏空间上和黎曼流形上的Newton法的区别和联系，利用优函数技巧等给出流形上关于Newton法的统一的局部和半局部收敛性分析，并把所得的结论应用到相关的数值例子如流形上优化问题的数值求解、及模式识别、目标跟踪、计算机视觉应用等相关问题的数值求解中去。同时，建立黎曼流形上的奇异情形下的广义Newton法收敛的定量分析。并把所得结果应用到具体的数值例子中。另外，给出李群上(与单参数半群有关)的Newton法的局部和半局部收敛性分析。并把所得的具体结果应用到李群上的微分方程的数值求解、 李群上的优化问题的数值求解以及其它相关问题的数值求解中。本项目是属于微分流形、黎曼几何、 数值分析、 李群和李代数等现代数学的交叉学科，无论在理论上还是在应用前景上都有重要的研究价值和学术意义。

本项目研究了黎曼流形上Newton法及奇异情形下的Newton法的收敛性分析。通过引入广义Lipschitz条件，分别建立了Newton法及奇异情形下的Newton法的收敛判据，及收敛球半径的估计。作为应用，我们得到了Kantorovch定理和Smale点估计理论。同时，我们也研究了李群上的Newton法的收敛性分析，建立了统一收敛判据。我们的一些结论本质地推广了已有的一些结果。另外，我们也研究了流形上某些优化问题的求解。我们把.线性空间中的weak sharp minima, monotonicity, firmly nonexpensive等概念推广到流形上，从而研究了流形上求集值向量场的一些迭代算法的收敛性等问题。最后，本项目也研究了变分包含问题的Newton法及Gauss-Newton法的收敛性分析，建立了收敛判据和收敛球半径的估计。