黎曼流形和李群上基于回拉的Newton类算法的研究及其应用

In this project, we will combine Riemannian geometry, Lie group and Lie algebra, numerical analysis and optimization theory, and then study the problems about the Newton method on Riemannian manifolds, which depends on retraction and vector transport. Making use of known convergence analysis results about the Newton method in linear spaces and manifolds which is relied on geodesics and parallel transport, we will give the estimations of convergence radius of the Newton method depended on retraction and vector transport,provide the uniform convergence criteria of the method, and the Samle's point estimation theory and so on. We will also study the Newton method for singular vector field on manifolds. We try to give the local and semi-local convergence analysis of various Newton methods on Lie groups which depends on retarction and vector transport, and then establish the well-known Smale point estimate theory and so on. At the end, we will use our results to solve some concrete problems such as eigenvalue problems, humane spine problems, pose-estimation problems. Our project is a combination of Riemannian geometry, Lie group and Lie algebra, numerical analysis, optimization theory. Hence, in view of application and theoretical development, our project is very meaningful and valuable.

本项目将黎曼几何、李群和李代数与数值分析、数值优化问题有机的统一起来，充分利用黎曼几何的内在性质及线性空间中已有的关于Newton法收敛性的研究结果及黎曼流形上依赖于测地线和平行移动的Newton法收敛性分析的已有结果，对黎曼流形上的基于回拉和向量移动的Newton法的局部和半局部的收敛性进行分析和研究。本项目将研究黎曼流形上基于回拉和向量移动的Newton法及奇异情形下的Newton法的收敛半径的估计，收敛判据和Smale点估计理论；研究李群上基于回拉和向量移动的Newton法的收敛性；最后将运用我们的研究结果解决一些具体的实际问题如特征值问题、脊椎问题、模式识别问题等。本项目是属于黎曼几何、李群和李代数、数值分析、数值计算、优化理论等多个分支的交叉学科，无论在理论上还是在应用前景上都有重要的研究价值和学术意义。

近年来，随着现代应用科学的发展与需要，同时作为处理非凸或非光滑问题的一个有力的工具，黎曼流形上的数值计算与数值优化问题愈来愈被研究工作者们所关注。本项目将黎曼流形、李群李代数与数值分析、数值优化问题有机地统一起来，充分黎曼几何的内在性质及线性空间中已有的关于数值计算和数值优化问题的研究结果对黎曼流形上的数值计算和数值优化问题进行分析和研究。我们首先研究了黎曼流形及李群上基于回拉和向量移动的Newton法及奇异情形下的Newton法的收敛性分析。其次，我们也研究了Heisenberg群上的Newton法收敛性的定量的分析。再次，我们研究了流形上逼近点算法的收敛性分析，及收敛阶的估计等。然后，我们研究了在截面曲率有下界的黎曼流形上的凸可行性问题次梯度算法的收敛性分析。最后，我们研究了split可行性问题、逆奇异值问题、抽象不等式系统的解的存在性和误差界问题、连续函数空间中的非线性最佳同时逼近问题、及变分包含问题的数值求解等。我们的研究取得了一系列的丰富成果，部分成果具有原创性，并在国际重要刊物上发表了二十一篇有高水平的学术论文。特别地，在应用数学类的世界一流刊物SIAM J. Optim.， SIAM J. Numer. Anal.和Inverse Problems上已发表了五篇重要文章并引起了同行们的关注。值得一提的是，本项目研究所得结果本质地改进或推广了这一研究领域的某些已有成果，部分成果甚至具有原创性。我们的研究发展和完善了黎曼流形上的数值计算与数值优化，无论在理论上还是在应用前景上都有重要的科学意义。