基于高阶格式的Inverse Lax-Wendroff方法及其稳定性分析

When a high order finite difference scheme or DG scheme is used to solve partial differential equations, the inner scheme cannot be used near the boundary directly. We need to construct appropriate numerical boundary conditions to maintain accuracy and stability. This program studies stability analysis of the inverse Lax-Wendroff boundary treatment and the simplified inverse Lax-Wendroff boundary treatment for high order schemes for partial differential equations, which are initial-boundary value problems. Stability analysis is performed by the GKS analysis and the eigenvalue spectrum visualization method. It mainly contains three parts:.1.We consider the case of high order central difference schemes for diffusion equation with mixed boundary value. The appropriate SILW procedure is constructed in this case to guarantee stability and high order..2.We consider the case of high order difference schemes for convection-diffusion equation. The appropriate SILW procedure is constructed in this case to guarantee stability and high order..3.Extend SILW boundary treatment to DG schemes on rectangular meshes.

运用高阶有限差分格式或间断有限元（Discontinuous Galerkin，简称DG）格式求解偏微分方程初边值问题时，边界条件的处理非常重要，它直接影响数值方法的相容性、稳定性和精度。本项目主要将Inverse Lax-Wendroff（简称ILW）方法与简化Inverse Lax-Wendroff（简称SILW）方法用于求解偏微分程高阶数值格式的边界处理中；并运用GKS分析和特征谱可视化方法分析格式的稳定性。本项目主要做以下三个方面的工作：.1.针对求解带混合边界条件的扩散方程的高阶中心差格式，构造合适的SILW边界处理方法，得到稳定的高阶格式。.2.针对求解对流扩散方程的高阶差分格式，构造合适的SILW边界处理方法，得到稳定的高阶格式。.3.将SILW方法推广到基于矩形网格剖分的间断有限元格式。

科学和工程中的许多实际问题都可以用带有合适初边值条件的偏微分方程来描述。针对偏微分方程，在某些特定条件下，可以显式求出其真解，然而在大多数情形下，方程的真解无法显式给出，因而偏微分方程的数值解法成为了学者们研究的热点。本项目研究主要包含以下两个方面。. 第一，在众多数值方法中，有限差分法具有形式直接简单，便于推广到高维情形，更加适合于矩形网格剖分等优点，其中，高阶格式可以在相同的网格剖分下得到较小的误差及在相同的允许误差下使用较粗的网格剖分，进而可以提高计算的效率。扩散方程常用于描述物质扩散等物理现象。在本项目中，空间上，我们采用矩形网格剖分下的高阶紧致差分格式求解扩散方程，时间上，利用三阶龙格-库塔方法进行离散。此时，主要存在两个问题：一是，对于复杂区域，矩形网格剖分可能导致网格点与物理边界不重合，此时，第一个网格与物理边界有间距Ca*dx;第二，高阶格式模板较宽，因而在边界点附近无法直接利用高阶格式，需要构造合适的数值边界条件保证格式的稳定性与高精度。本项目主要是针对Dirichlet 边界条件及Neumann边界条件下的扩散方程，采用 简化 Inverse Lax-Wendroff（SILW）边界处理方法，即利用 Inverse Lax-Wendroff 方法及Birkhoff 插值方法得到插值多项式而后利用Taylor展开得到虚拟点值进而得到相应的数值边界条件，而后利用Godunov–Ryabenkii理论及特征谱可视化方法分析格式的稳定性，进而得到相应的参数取值，使得格式对所有Ca在区间(0,1]中都是稳定的。最后，给出了数值算例验证了稳定性分析结果及理想中的高精度。. 第二，多孔弹性模型在流体地质力学、生物医学、化学系统等其他工程领域有广泛的应用，该模型一般是很复杂的耦合模型，因而不易求其解析解，我们针对一类多孔弹性模型，构造了稳定的多物理场有限元方法并利用Crank-Nicolson格式进行时间离散，该方法不仅可以消除闭锁现象，还可以在时间步长与空间步长无限制的情形下得到最最优阶。我们给出了误差分析结果并给出了数值算例验证了误差分析结果及最优误差阶。