没有紧性的非线性二阶椭圆方程（组）中的集中现象以及物种分布竞争模型中的若干数学问题的挑战

考虑有界区域Neumann边界临界情形时Gierer-Meinhardt模型的shadow system解的存在性。当区域 满足某种对称性和非凸性时Wang-Wei-Yan 否定了Lin-Ni猜想。现在要对一般的区域都能否定Lin-Ni猜想，首先着手研究区域是单位球，再推广到一般的区域。.研究Hénon方程临界情形即失去紧性时正解的存在性。.次临界情况时Ni猜想上述问题都有集中在任意维子集上的正解。好好研读极小曲面，从而能够从极小曲面出发寻找集中在极小曲面上的正解，部分解决Ni的猜想。较好的连通几何和偏微分方程。.研究反应－对流－扩散方程，资源怎样的空间分布对物种最为有利？沿着资源梯度的方向怎样的水平对流会造成物种的灭绝？物种生存的区域形状对物种又有怎样的影响？如何分布物种可以使得该物种竞争占优？

本项目研究了有界区域Neumann边界临界情形时Gierer-Meinhardt模型的shadow system解的存在性，利用Lyaponuv-Schmidt reduction 方法结合能量方法，得到了无穷多正解的存在性。当区域满足某种对称性和非凸性时Wang-Wei-Yan已经否定了Lin-Ni 猜想。对于凸区域，特别是球，本项目否定了Lin-Ni猜想。运用这样的方法，我们研究了Hénon方程临界情形即失去紧性时无穷多正解的存在性和相应的外区域问题，而这些解的能量可以趋于无穷大。这些模型的解体现了共同的性质：凝聚在点上，可以是单点，也可以是多点，或者多重。随着研究的深入，我们发现一些模型存在凝聚在高维的解。为此我们考虑了薛定谔方程和Allen-Cahn方程，证明了高维凝聚正解的存在性。从中也部分的解决了Ambrosetti-Malchiodi-Ni 关于薛定谔方程存在高维凝聚解的猜想。本项目亦研究了反应－对流－扩散方程中的Lotka-Volterra模型，得出了有趣的现象，基本解决了娄元教授的猜想。本项目截至目前共计发表SCI论文6篇，已接受SCI论文2篇。