齐性爱因斯坦-芬斯勒流形

In this item, we will study the invariant Einstein metrics on homogeneous Finsler spaces by using the results and methods of Liegroups and Lie algebra, where we will translate the geometric problems to the corresponding algebraical problems and use the way of algebraical and geometric by turns. We will mainly study the invariant Einstein-Finsler metrics on homogeneous spaces, canonical groups and symplectic manifolds, as well as determine all these matrics and the general way of constructing these metrics. We will also study some geometric natures of them, and do our best to obtain the formula of flag curvature and the classification of the metrics which the sign of flag curvature is positive or negative. Lastly, we will study the groups of isometries and investigate the classifications under isometry of these metrics. Studying these problems systematically will have important significancy to the investigation of the invariant geometry of homogenous Finsler spaces.

本项目拟利用李群李代数的理论和工具，将几何问题转化为代数问题，交替使用代数与几何的方法，对齐性芬斯勒空间的不变爱因斯坦度量加以研究。我们将主要研究齐性空间、典型群及辛流形上的不变爱因斯坦-芬斯勒度量度量，确定这些空间上所有的爱因斯坦-芬斯勒度量及构造这类度量的一般性的方法。我们还将研究它们的若干几何性质，力争通过确定旗曲率公式来研究曲率性质和曲率定号流形的分类。最后我们将探索这些度量的等距变换群，深入研究它们的等距分类，力争将这些空间上的爱因斯坦-芬斯勒度量度量进行完备分类。深入研究这些问题，将对齐性芬斯勒空间的不变几何的研究具有重要意义。

本项目主要研究了齐性空间上的正则不变Einstein-Randers度量和可解完备李代数。首先我们将一类幂零李代数进行分类，研究它们的导子代数，得到它们的极大环面，证明了所构造的李代数是可解完备李代数。进一步，通过李群李代数的基本知识和齐性空间的基本事实，将几何问题转化为代数问题，将上述代数结果几何化，得出相应的几何结论，证明了齐性空间上任何正则不变Einstein-Randers度量都是黎曼度量。