与高阶矩阵谱问题相联系的孤子方程族代数几何解研究

In this project, with the help of the methods of algebraic geometry, we propose a systemic method to construct the trigonal curve, whose property is further discussed, and then introduce the appropriate Baker-Akhiezer function, meromorphic function and elliptic variables on the three-sheeted Riemann surface, from which soliton equations are decomposed into the system of solvable Dubrovin-type ordinary differential equations. Furthermore, in accordance with the properties of the zeros and singularities of the meromorphic function and Baker-Akhiezer function, we get their Riemann theta function representations by means of the second and third Abel differentials, Riemann theorem and Riemann uniqueness theorem. Combining the Riemann theta function representations of the meromorphic function and the Baker-Akhiezer function with their asymptotic properties at infinity, we obtain the algebro-geometric solutions of soliton equations at last. The project is mainly to deal with the soliton equations whose three sheeted Riemann surface has only two infinity points, and some integrable models associated with the higher order matrix spectral problem are also discussed.

本项目主要采用代数几何方法，系统性地构造三角曲线，并对三角曲线的性质进行深入的研究，再通过引入适当的Baker-Akhiezer函数、亚纯函数以及椭圆变量，从而将孤子方程分解为可解的Dubrovin型常微分方程组。接着，根据亚纯函数以及Baker-Akhiezer函数零点极点的性质，定义第二、三类Abel微分，结合黎曼定理以及黎曼唯一性定理，得到亚纯函数以及Baker-Akhiezer的黎曼Theta函数表示。最后再结合亚纯函数以及Baker-Akhiezer函数在无穷远点处的渐近性质，给出孤子方程族解的代数几何表示。本项目处理的对象为三叶黎曼面仅有两个无穷远点的孤子族，以及与高阶矩阵谱问题相联系的可积模型。

孤子方程族的代数几何解揭示了解的内部结构，描述了非线性现象的拟周期行为。本项目的工作是对孤子方程族代数几何解理论的一个发展。目前而言，关于孤子方程代数几何解的研究主要集中于二阶矩阵谱问题下，这一方面无论是连续还是离散的可积系统，成果都已十分丰富。而到了三阶矩阵谱问题时，代数几何解的研究复杂性就大大增加，仅有的成果局限于少数几个连续可积系统，像Long wave-short wave族之类具有2个无穷远点的连续可积系统代数几何解还未真正解决。项目组利用代数几何方法，从不同的三阶矩阵谱问题出发，利用零曲率方程，得到多族新的孤子方程族。然后根据Lax矩阵的特征多项式，得到各自谱问题对应的三角曲线。当三角曲线满足非奇异时，对其进行紧致化，即加上无穷远点，从而得到三叶黎曼面，其中谱问题本身决定了该三叶黎曼面无穷远点个数（一个、两个或三个）。接下来，就可以通过计算该三叶黎曼面分支点总数（含无穷远点），再根据Riemann-Hurtz公式计算出三叶黎曼面的亏格数。紧接着再通过引入适当的Baker-Akhiezer函数、亚纯函数以及椭圆变量，从而将孤子方程分解为可解的Dubrovin型常微分方程组。接着，根据亚纯函数以及Baker-Akhiezer函数零点极点的性质，定义第二、三类Abel微分，结合黎曼定理以及黎曼唯一性定理，得到亚纯函数以及Baker-Akhiezer的黎曼Theta函数表示。最后再结合亚纯函数以及Baker-Akhiezer函数的渐近性质，项目组分别给出Newell流及含有六个位势的孤子方程族的代数几何解。与此同时，项目组也利用Hirota双线性方法以及Tanh方法，研究了（2+1）维Boussinesq方程、耦合Kaup-Kupershmidt方程、五阶非线性演化方程以及（3+1）维非线性可积方程的黎曼theta函数周期波解和显式行波解。本项目对于三角曲线的性质认真分析，给出三叶黎曼面的亏格计算公式，并且对于三叶黎曼面的无穷远点个数进行精确划分，并能给出一套很系统的方法去构造黎曼面只具有2个无穷远点的孤子族的代数几何解，同时与高阶矩阵谱问题相联系的离散可积系统代数几何解研究也获得进一步发展。