与三阶矩阵谱问题相联系的孤子方程族的代数几何解

As we all know, algebro-geometric solutions of soliton equations not only reveal inherent structure mechanism of solutions and describe the quasi-periodic behavior of nonlinear phenomenon or characteristic for the integrability of soliton equations, but also can be reduced to find multi-soliton solutions, elliptic function solutions, and others. Therefore, the research on the algebro-geometric solutions of soliton equations is of greatest importance. The aim of the project is to solve the following two problems: (1) constructing the properly third-order matrix spectral problems, and deriving the soliton hierarchies; (2) studying the algebro-geometric solutions of soliton equations, with the help of the theory of trigonal curve and the technique of algebraic geometry.

孤子方程的代数几何解不仅揭示了解的内部结构，描述了非线性现象的拟周期行为，或孤子方程的可积性特征，而且可以利用它约化出多孤子解, 椭圆函数解及其它形式的解。因此，研究孤子方程的代数几何解就变得十分重要。本项目主要解决以下两个问题：(1)构造合适的三阶矩阵谱问题，导出孤子方程族；(2)应用三角曲线理论及代数几何方法，研究孤子方程的代数几何解。

孤子方程在流体力学、等离子物理、光导纤维、生物学等许多领域有着广泛的应用。因此，研究孤子方程的性质及其解具有重要意义。本项目的研究目的是构造新的三阶矩阵谱问题，推导出有意义的孤子方程,并利用三角曲线理论及代数几何知识讨论孤子方程的代数几何解。受本项目资助已发表论文1篇，被SCI期刊接受论文1篇，完成并投稿2篇。研究成果主要是构造与三阶矩阵谱问题相联系的孤子方程的代数几何解，其中2篇涉及到的三角曲线有一个无穷远点；另一篇是三个无穷远点。我们针对不同的情形，研究了孤子方程的代数几何解，为进一步解决其他情形提供了一些有价值的参考。