液晶变分问题与液晶流的适定性研究

This project is concerned with the mathematical theory of liquid crystals. First of all, we will investigate the existence and regularity of the minimizers and critical points of the Oseen-Frank functional, Ericksen functional and Landau-de Gennes functional. The regularity on the eigenvalues and eigenvectors of the Q-tensor,the distribution and topology of the vortices will also be discussed. For the hydrodynamical flow of liquid crystals, attentions will be paid on the wellposedness and partial regularity, behaviors near the singularities for the solutions of incompressible or almost incompressible Ericksen-Leslie equations and Q-tensor flow, dynamics of the defects or vortices.

本项目致力于研究向列型液晶模型的数学理论。通过研究液晶物理中引起数学家高度兴趣的Oseen-Frank泛函、Ericksen泛函以及一般的Landau-de Gennes泛函极小元与临界点的存在性和正则性，涡漩的分布及拓扑性质，Q-tensor的特征值和特征向量的正则性，探讨液晶物理中最受关注的"缺陷"形成和分布机制以及模型的相变机制。对于液晶流，重点研究不可压缩和几乎不可压缩Ericksen-Leslie方程以及Q-tensor液晶流的整体适定性和部分正则性；研究解的奇点集合及解在奇点附近的性态；探讨"缺陷"(或涡漩)的形成和发展规律；力图形成较系统的稳态和动态数学理论。由于所涉及的方程组含有散度和旋度并且具有高度非线性性和强耦合性，深入研究这些问题既可丰富偏微分方程的理论宝库，又可诠释液晶物理中的自然现象，促进液晶物理和液晶技术的发展，具有重要的理论意义和实际应用价值。

本项目主要研究了向列型液晶模型的数学理论和Navier-Stokes方程的适定性与稳定性理论。对于Ericksen-Leslie模型以及Landau-de Gennes模型，在适定性理论研究方面取得了较好的成果。对于液晶物理中最受关注的"缺陷"形成和分布机制以及模型的相变机制进行了探索性的工作，取得了初步成果，得到了变分问题的解的"缺陷"（Q-张量的零点集合）的Hausdorff维数估计，即将完成该集合的可求长性证明以至于与液晶物理中观察到的现象吻合。同时，我们还在流体-粒子耦合的Navier-Stokes-Smoluchowski方程的适定性、爆破准则、衰减估计以及Navier-Stokes方程Navier边值问题的稳定性等方面取得了一系列成果。