液晶与铁磁材料领域的非线性偏微分方程研究

本项目研究液晶材料和铁磁材料领域的非线性偏微分方程，即Ericksen-Leslie方程和Landau-Lifshitz方程。力图建立较系统的存在性理论、正则性理论并对解的奇性进行分析。由于这几类方程与调和映照及其热流、Navier-Stokes方程、Maxwell方程组密切相关，同时因为它们的强非线性性，理论研究难度很大，因而受到数学界的广泛关注。我们拟研究的问题包括解（含有限时刻爆破解）的存在性、弱解的部分正则性、解的奇点集合及其刻画、解在奇点附近的性态、解的涡漩及其动力学性态等。深入研究这些问题不仅可以促进相关材料科学的发展，也可丰富和发展偏微分方程、几何分析领域的理论、研究方法和研究技巧，具有重要的理论意义和应用价值。

本项目研究期限为2011年1月至2013年12月。在执行期间，在Journal of Functional Analysis,SIAM J.Math.Anal.,Journal of Differential Equations, Journal of Mathematical Fluid Mechanics, Science China-Mathematics等国内外权威刊物上共发表科研论文20篇，其中19篇被SCI收录。主要成果：1、得到了粘性依赖于密度且具有真空和大初值的可压缩Navier-Stokes方程一维初边值问题的整体经典解的存在唯一性。对于Navier-Stokes方程的粘性极限问题，主要对Euler流中出现接触间断波或者既有激波又有固体边界存在的情况做了研究。2、对于不可压缩液晶与可压缩液晶Ericksen-Leslie模型的适定性问题，率先证明了可压缩模型在马赫数趋于零的情况下的不可压缩极限。把可压缩与不可压缩模型有机结合起来。并证明了轻微可压缩模型整体强解的存在唯一性。随后，率先提出了一维可压缩液晶模型的自由边界问题，并证明了整体经典解的存在唯一性。3、铁磁链方程耦合Maxwell方程有限时刻爆破解的存在性。将丁时进和王长友在2007年发表在IMRN上关于Landau-Lifshitz方程有限时刻爆破解的存在性结果推广到Landau-Lifshitz-Maxwell方程。在对于初始值给出一定条件的情况下，证明了存在有限时刻爆破解。4、证明了一维铁磁链方程Robin边值问题整体光滑解的存在唯一性。5、我们研究了一个可压缩两相流模型（Journal of Mathematical Fluid Mechanics，2012），证明了一维问题整体光滑解存在性唯一性。这是这种可压缩两相流模型的第一个整体存在性结果。