向列型液晶中变分波方程(组)的初值问题研究

The study of nonlinear waves arising in anisotropic media is one of the forefront focus subjects, which has important theoretical and practical significance. This project studies the initial value problems of the variational wave equation (equations) arising in nematic liquid crystals. The initial value problems of the variational wave equation with a source term and its asymptotic equation are investigated and the effect of the source term for the existence and regularity to two class of weak solutions are discussed. The global well-posedness of two class of weak solutions for the initial value problems to the variational wave equations and its asymptotic equations are considered by using the Young measure theory and the method of energy-dependent coordinates. Moreover, the corresponding dissipative numerical schemes and conservative numerical schemes used to compute the relevant problems are established.

各向异性介质中非线性波的研究是具有重要理论和现实意义的前沿热点课题之一。本项目研究产生于向列型液晶理论的非线性变分波方程(组)的初值问题。研究带源项的变分波方程及其渐近方程的初值问题，探讨源项对两类弱解的存在性和正则性的影响。运用Young测度理论和依赖能量坐标方法，研究变分波方程组及其渐近方程组初值问题的两类弱解的整体适定性。建立相应的耗散格式和守恒格式，对相关问题数值模拟。

向列型液晶现今已被广泛应用于许多科学和工程领域，并逐渐成为工业上不可或缺的重要材料。因此，对刻画向列型液晶分子运动的数学模型的研究是具有重要理论意义和现实应用价值的前沿热点课题之一，受到众多研究者的关注。在本基金的资助下，项目组对产生于向列型液晶理论的非线性变分波方程和方程组及相关模型进行了研究，我们的研究结果主要分为以下三个部分：.首先，我们考虑了一般的非线性变分波方程的初值问题，在严格双曲假设下对有限能量的初值建立了该问题弱解的整体存在性并证明了解在用一个Radon测度表示的总能量为常数的意义下是守恒的。此外，我们研究了带一般源项的变分波方程的初值问题并利用依赖能量坐标方法得到了问题的整体弱解。.其次，为研究非线性变分波方程的退化双曲问题，我们利用特征分解方法研究了一类非线性波系统两种不同形式的退化双曲问题，并建立了这两类退化双曲问题的整体解。此外，我们还探索了一般2x2双曲方程组的特征分解理论并推广了Courant和Friedrichs关于可约化方程组的一个著名结论：与常状态相邻的区域为简单波。.最后，我们研究了一类非线性变分波方程组的初值问题。该问题的主要困难在于在依赖能量坐标下的半线性方程组在某些点是退化双曲的。基于Young测度方法，我们建立了正则化的半线性方程组解序列的准紧性从而得到原始方程组弱解的整体存在性。