非凸变分问题解的适定性与应用性研究

As a hotspots problem, variational theory and its application have been researched by many expert researchers. The theory of nonconvex analysis is a necessary to reform and a challenging frontier topic in the research contents of variational analysis. So far, the theory research for nonconvex analysis slow developed in the twists and turns, and the research of variational problem with the practical application background carried on almost all of the convex constraint sets, still few research results on the nonconvex constraint sets. Using the methods of proximal nomal cone, Ekeland’s variational principle and Thermodynamic analysis method, mechanical yield surface theory, in this project, we will analyze and study the well-posedness of the solutions for the corresponding nonconvex (set-valued) variational inequality, nonconvex Wiener-Holf equation. We will construct a new variational model for the contact problem with a nonconvex yield surface, and hence to apply the theoretical results to analyze and solve the corresponding mechanical contact problems...This project is a interdisciplinary subject which have the ample content of the theory and application. Study of the project can not only lay the foundation for the research of the well-possness of nonconvex variational problems, but also provide a more scientific and effective theoretical basis and solving methods in nonlinear problem with the nonconvex constraint condition, especially in the mechanical contact problem with a nonconvex yield surface. Therefore the research has important academic and application value.

变分理论及应用作为一个活跃的研究热点被众多的专家学者所研究，非凸分析问题是变分理论中亟待完善而又具有挑战性的前沿课题。到目前为止，非凸分析的理论研究在波折中缓慢前进，而针对具有实际应用背景的变分问题的研究，基本都是在约束集为凸集的基础上开展的，非凸约束集上还鲜有研究结果。本项目拟利用近似法锥、Ekeland变分原理及热力学分析方法、力学屈服面理论等工具分析研究非凸（集值）变分不等式、非凸Wiener-Holf方程解的适定性问题；进而建立具有非凸屈服面弹塑性接触问题的变分模型，并应用非凸变分问题的理论结果分析、求解相应接触问题。.本项目的研究内容是理论性和应用性都很强的交叉学科内容，在最优化理论，数学与工程科学及力学系统的稳定性等方面都存在广泛的应用，尤其对解决接触力学，障碍问题等物理现象有着十分重要的意义。项目的研究还将为非凸变分问题的研究提供新的可借鉴的技巧与方法。

项目研究了变分不等式的两个子类：具时滞变分不等式及非凸变分不等式问题解的性质，并与力学中弹塑性接触问题相联系,分析得到相关力学问题的变分模型及解的存在性结论。.理论方面，自上世纪末，对非凸约束下的变分问题的研究越来越多地汇集在近似正则集上，这方面的研究先后经历了上世纪末至2010年以NOOR为代表的对非凸变分不等式的研究及以J.blaooee为代表修正之前非凸变分不等式，对正则非凸变分不等式的研究。但项目组在项目推进研究中，意外发现已有针对近似正则集的非凸分析研究中存在漏洞，项目组经过努力，已结合理论证明与实例说明：在J.blaooee等人已发表的多篇论文的结论中，用于证明正则非凸变分不等式解存在性的关键技术基础：关于投影算子与近似法锥间的等式关系不一定成立！因而，现有关于正则非凸变分不等式在投影意义下的理论与算法结果是错误的。针对正则非凸变分不等式投影类方法中客观存在的错误，必须首先对基础理论中存在的漏洞进行改正，才能顺利完成项目的其它任务。项目组经过对近似正则集性质的深入分析，给出修正的理论结果，进而利用投影技术研究正则非凸变分不等式与不动点问题、变分包含问题之间的正确等价关系，从而建立修正的正则非凸变分不等式和不动点问题之间的等价性。利用这种等价性来讨论修正的正则非凸变分不等式解的存在性，并构造解修正的正则非凸变分不等式的投影类迭代算法，通过理论证明迭代算法在一定条件下是收敛的。.实践应用方面，项目组在接触问题的变分模型中应用测度理论引入时滞算子，针对各类时滞情况构建了统一地研究框架——时滞变分不等式模型，并具体应用这一测度版本的时滞变分不等式研究一个变时滞系统的可解性问题。此外，通过广义热力学原理，项目组构造得到关于具非凸屈服面的弹塑性接触问题的变分模型，应用项目组所得正则非凸变分不等式相关结论求得相关非凸接触问题的解理论。