缺失数据下半参数度量误差回归模型的统计推断

Semi-parametric regression models are important statistical models. Under complete data and independent assumption, all kinds of semi-parametric regression models have been studied by researchers. However, in many practical applications for regression analysis, there are many dependent data and incomplete data. Consequently, the theoretical results for independent situation and complete data are no longer applicable. So we need to find another way to solve this problem in order to deal with complicated practical problems. On the other hand, due to human or system, there are many variables with measurement errors. In order to deal with this problem, scholars have introduced errors-in-variables models. It has been proved that the errors-in-variables models are somewhat more practical than the ordinary regression models. Therefore, we consider the situation for incomplete data in a semi-parametric errors-in-variables model. Under independent assumption, we derive the asymptotic properties for the estimators of slope parameter, regression function and error variance, respectively. Meanwhile, a simulation study is needed to show whether the estimators have good performance, as well. We also study the practical application problem for the model.

半参数回归模型是重要的统计模型。目前，在完全数据和独立框架下，对于各种形式的半参数回归模型，文献中已经有了比较系统和完整的理论结果。但是，在模型的大量实际应用中，人们经常遇到相依数据与不完全数据。于是，完全数据和独立框架下的各种估计方法和估计量的渐近性质将不再适用。因此，在相依与不完全数据下，需要进一步讨论各种模型中的估计问题，以便更好地解决复杂的实际问题。另一方面，由于人为或系统的原因，人们经常遇到不能直接观测或准确测量的变量。为了解决这一问题，学者们引入了度量误差模型。实践证明，度量误差模型更切合实际，具有更大的实用价值。综上所述，本项目考虑随机误差为α-混合序列，在数据缺失的情况下，运用加权最小二乘法、局部多项式回归法等多种估计方法，估计半参数度量误差回归模型中斜率参数、非参数分量和误差方差，并验证估计量的各种渐近性质。另外，我们也会将模型的理论结果进行数值模拟，并运用于实际问题中。

半参数回归模型和度量误差回归模型都是重要的统计模型。在完全数据和独立假设下，各种形式的半参数回归模型和度量误差回归模型，在文献中已经有了比较系统和完整的理论结果。但是，在模型的实际应用中，相依与不完全数据大量存在。此时，完全数据和独立框架下的理论结果将不再适用。因此，需要学者对不完全数据和相依结构下的回归模型进行深入研究，以便更好地解决复杂的实际问题。基于以上分析，我们在相依与不完全数据的假设下，讨论半参数度量误差回归模型，对模型中的斜率参数、非参数分量和误差方差进行估计，并考虑估计量的渐近性质。本项目的具体研究内容如下： .（1）在随机误差为异方差负相关序列的条件下，对于半参数度量误差回归模型，我们分别运用最小二乘估计方法和加权最小二乘估计方法，来估计模型中的斜率参数、非参数分量以及误差方差函数。在适当的条件下，我们验证了模型中各个估计量的强相合速度都可以达到o(n^{-1/4}). 与此同时，我们也验证了各个估计量的渐近正态性。.（2）在应变量随机缺失的情况下，对于误差为独立同分布序列的半参数度量误差回归模型，我们分别运用删除法和插补法来处理缺失数据，获得模型中的斜率参数和非参数分量的估计量。在适当的条件下，我们验证了模型中斜率参数和非参数分量估计量的强相合速度都可以达到o(n^{-1/4}). 与此同时，我们也验证了各个估计量的渐近正态性。.（3）在应变量随机缺失的情况下，对于误差为异方差独立序列的半参数度量误差回归模型，我们分别获得模型中的斜率参数、非参数分量以及误差方差函数的估计量，并计算这些估计量的强相合速度。.（4）在应变量随机缺失的情况下，对于随机误差为相依序列的半参数度量误差回归模型，我们分别获得模型中的斜率参数和非参数分量的估计量，并考虑这些估计量的强相合速度和渐近正态性。（此部分研究工作尚在投稿中）.（5）我们也通过数值模拟分析了各个估计量的有限样本性质。模拟结果支持了理论结果。.（6）本项目的研究工作拓展了半参数回归模型的理论和应用范围，使得模型能更好地解决实际问题。