矩阵锥约束的两阶段随机规划问题的理论与算法

Reflecting uncertainties objectively in practical problems, and having important applications in wireless networks communication, structural optimization, financial engineering and other fields, two stage stochastic programming with matrix conic constraints has attracted much attention in the field of stochastic optimization in recent years. Although the theory and algorithms for deterministic mathematical programming with matrix conic constraints (including linear semidefinite programming (SDP) and nonlinear semidefinite programming) are well developed,there are few works on two stage stochastic programming with matrix conic constraints. Hence it is of great significance to study the theory and algorithms for two stage stochastic programming with matrix conic constraints. Based on the theory of matrix conic programming and stochastic programming, this project focuses on systematic in-depth study of theory and algorithms for two stage stochastic programming with matrix conic constraints with the help of variational analysis. The study includes establishing the optimality conditions for two stage stochastic programming with matrix conic constraints, investigating asymptotic theory of sample average approximation method for solving this problem, constructing theoretical framework of sample average approximation augmented Lagrangian method for solving this problem, and applying the theory and alogrithms established to risk investment which is significant in practice. We hope the results obtained play a promoting role in the study of stochastic programming.

带有矩阵锥约束的两阶段随机规划问题，由于客观地反映了实际问题中出现的不确定因素，并且在无线网络通讯、结构优化、金融工程等领域中有重要的应用，近期在随机优化领域引起了广泛的关注。尽管带有矩阵锥约束的确定型的数学规划（包括线性半定规划 （SDP）和非线性半定规划）问题，其理论和算法的研究都相对完善，但对于带有矩阵锥约束的两阶段随机规划问题的研究工作还不多。因此研究此类问题的理论与算法的意义重大。本项目旨在以矩阵锥规划和随机规划为理论基础，以变分分析为工具对带有矩阵锥约束的两阶段随机规划问题的理论与算法进行系统深入地研究。 研究内容包括建立带有矩阵锥约束的两阶段随机规划问题的最优性条件，研究求解这类问题的样本均值近似方法的渐近性理论，构造求解此类问题的样本均值近似增广拉格朗日方法的理论框架，并把建立的理论和算法应用于实际中有重要价值的风险投资问题中。取得的结果以期对随机规划的研究起到促进作用。

带有矩阵锥约束的两阶段随机规划问题是随机规划中的一类重要模型，在很多领域有重要的应用。本项目以矩阵锥规划和随机规划为理论基础，以变分分析为工具对带有矩阵锥约束的两阶段随机规划问题的理论与算法进行了系统深入地研究。在矩阵锥约束的两阶段随机规划的最优性条件和样本均值近似方法的渐近性理论方面取得重要进展, 在算法方面取得了一定的进展。具体地，建立了锥约束变分不等式的解映射的广义微分理论，在此基础上得到了带有矩阵锥约束的两阶段随机规划问题的最优性条件；建立了样本均值近似非光滑随机变分不等式的渐近相容性理论，并在此基础上建立了两阶段随机半定规划的样本均值近似最优性条件的相容性理论；建立了正则化方法和一类非线性拉格朗日函数方法的收敛性理论并进行了数值实验，为进一步建立求解带有矩阵锥约束的两阶段随机规划问题的样本均值拉格朗日方法的收敛性理论提供了基础。取得的结果不仅可以应用到矩阵锥约束的两阶段随机规划中，还可以应用到更多的随机均衡问题中，如带有互补约束的随机规划问题及随机双层规划问题中。而且，本项目已经把建立的理论应用于金融工程中的风险投资问题和经济学中的斯坦伯格问题中。