差分方程和微分方程的一些研究

In 2006, R.G. Halburd and R.J. Korhonen estimated the proximity function m(r,f(z+c)/f(z)), i.e., for the case that f(z) is of finite order, which is a discrete version of the classical logarithmic derivative. This result made the basic work for difference equation and a number of papers focusing on difference equations emerged. In this proposal, we will research the existences of the solutions of some nonlinear difference and differential equations and try to find out all or some solutions of them, furthermore, we will research the properties of the meromorphic solutions. At the same time, we will study the appliations of difference equations in uniqueness and other relative topics.

2006年，R.G. Halburd和R.J. Korhonen等人估计了迫近函数m(r, f(z+c)/f(z))，特别当f是有穷级函数时,它正好是经典的对数导数引理的翻版。 该结果为差分方程作出了基础性工作。近来人们在此基础上得到了大量的差分方程方面的结果. 我们将研究非线性差分和微分方程解的存在性并寻找一些它们的全部或部分解。同时在假设有解的前提下，我们也将研究非线性差分和微分方程解的相关性质。我们还将研究非线性微分方程和差分方程在唯一性问题方面的应用以及相关的研究课题。

R.G. Halburd和R.J. Korhonen等人估计了迫近函数m(r, f(z+c)/f(z))，特别当f是有穷级的亚纯函数时,它是S(r,f)正好是经典的对数导数引理的翻版。该结果为差分方程作出了基础性工作。近来人们在此基础上得到了大量有穷级差分方程方面的结果.本项目主要借助了Nevanlina理论、Wiman—Valiron理论、唯一性理论去研究复微分、差分方程，取得了一些研究成果，尤其在是Brück猜想的差分形式方面取得一个重要结果：如果有穷级整函数f和它的差分算子CM分担2个不同值，则必有它们是恒等的。这个结果对应于C.C.Yang他们经典的导数分担定理：整函数f和它的导数f'CM分担2个不同值，则有f=f' 。人们研究差分方程一个重要思想那就是把导数替换成差分或者高次差分，甚至把导数替换成差分位移，然后去探索原来对导数成立的结论对差分是不是仍就成立。在这种指导思想下，我们去研究了哈曼不等式差分形式定理等一些唯一性问题。同时我们也考虑了Malmquist型q-差分方程，和位移差分方程的有理函数解存在性问题以及超越解的形式和性质。