当分形遇到频谱分析：机遇、挑战及应对的探讨

Fractal is a powerful tool to describe the irregular objects in the nature. It has been widely used in various areas based on the traditional tool of fractal dimension. In this project, we will use the spectral analysis method for fractal extraction to exploit global geometrical features and its potential applications. Due to the characteristics of irregularity, scatter and discontinuous，the traditional spectral analysis methods, such as Fourier transform and continuous wavelet transform, may not be able effectively to extract fractals because of the Gibbs phenomenon. We perform the spectral analysis and synthesis of fractal based on two new classes of non-continuous orthogonal functions, namely U-system and V-system, to establish a link between the fractals and U&V spectrums. Our method uses the non-continuous U&V systems instead of the traditional continuous orthogonal functions to eliminate the Gibbs phenomenon. The main contribution of this study is to investigate the fractal from the view of spectrum, and to exploit new fields for fractal generation and feature extraction. The results can not only deepening the fractal usage but also widening the U&V system applications, and thus provide innovative solutions to many practical engineering problems.

分形是描述自然界中不规则对象的有力工具，应用领域极为广泛，传统的基本工具是分形维。为了挖掘分形整体几何特征，深化分形应用潜力，本项目将利用频谱分析方法研究分形。由于分形的非规则、散乱及间断等特点，传统的频谱分析方法（如Fourier变换、连续小波变换）因Gibbs现象的干扰而失败。本项目基于两类新颖的非连续正交函数系—U系统与V系统，重点研究基于U&V系统的分形频谱分析与综合，建立分形与U&V频谱之间的内在联系。本项目的特色在于从频谱角度审视分形，为分形的生成及特征提取开拓新的方向。创新在于扬弃传统的连续型正交函数系，而选用非连续的U&V系统，解决分形对象含有间断特性的难点问题。本项目既可深化分形理论研究，又可扩大U&V系统应用领域，同时能够在较宽广的实际工程问题中提供创新解决方案。

分形是描述自然界中不规则对象的有力工具，具有很高的理论意义和应用价值。本项目利用频谱分析手段研究分形，从而挖掘分形的整体形态特征。本项目的研究内容分为理论和应用两方面。 理论上研究一类正交分段多项式函数系（Franklin函数系、U&V-系统）的性质，特别是关注他们与通常的正交变换（Fourier变换、小波变换）的不同之处，并由此可能带来的益处。应用上关注数字图像、材料裂纹、河系等领域中的某些受关注的分形问题，并探讨正交变换在其中的应用，力图提供新的研究视角。在分形研究中，传统的思路是计算分数维，从而给出研究对象的复杂度指标。本项目中，我们另辟蹊径，通过频谱分析手段描述分形的复杂几何形态，得到分形对象更加多元、细致的深层次特征。1、我们从理论上论证了传统正交变换在分形中存在本质性的障碍，并对一类新的正交变换展开研究；2、根据U&V-系统本身具有的自相似、多分辨率以及层次间断等性质，提出一种具有旋转不变性的图像变换，并将其应用于纹理图像分类、二值商标图像检索；3、我们提出了一种分形生成的新方法，通过频谱来合成分形对象。只要通过修改频谱就可以得到大量的新型分形，而且这些分形的样式是千变万化、丰富多彩的，这种分形生成新方法为分形设计带来了巨大的自由发挥空间；4、作为一类典型的分形，河系具有复杂的几何结构，而描述河流结构形态与规律，辨识不同的结构特征，挖掘统一的结构模式，揭示自然界河流结构的内在本质，为流域地形地貌演变提供新的认识，具有重要的科学意义。我们实现了对大型河系(亚马逊流域，原始数据包括8385段河流，1914297个数据点)的精确正交重构，得到了相应的频谱，为进一步的研究河系内在结构规律提供了基础。