动力系统中旋转周期解Hopf分支问题研究

The periodic solution is one of the most important research contents in the dynamical systems, and Hopf bifurcation is an important part of the periodic solution theory in dynamical systems. It is widely used to explain some of the self-oscillation phenomena in physics, chemistry, and biology, such as LCR oscillations in electrical circuits and relaxation oscillations, and oscillations in autocatalytic chemical reactions, oscillations in the population model and so on. However, in practical applications, the dynamic properties of some differential models often exhibit certain symmetry in addition to periodicity. For this kind of system, Li Yong et al. proposed the concept of affine periodic solution. In particular, when the affine matrix is an orthogonal matrix, this periodic solution is also called a rotating periodic solution. Due to the particularity of the rotating periodic solution, it is necessary to establish new theories and methods to study the problem of rotating periodic solutions in dynamical systems. This project intends to study the Hopf bifurcation of the rotating periodic solution in dynamical systems. Actually the Hopf bifurcation theory of rotating periodic solutions can explain the Hopf bifurcation of periodic solutions, anti-periodic solutions, subharmonic solutions and a special quasi-periodic solution in a unified approach.

周期解是动力系统中最重要的研究内容之一, 而Hopf分支是动力系统周期解理论的重要组成部分。其被广泛应用于解释物理、化学和生物学中的一些自振荡现象, 例如电路中的LCR振荡和弛豫振荡、自催化化学反应中的振荡、种群模型中的振荡等等。然而在实际应用中有些微分模型的动力学性质除了周期性外经常呈现出一定的对称性。对于这种系统，李勇等人提出了仿射周期解的概念。特别地，当仿射矩阵是一个正交矩阵时，这种周期解又称为旋转周期解。鉴于旋转周期解的特殊性，研究动力系统的旋转周期解问题需要建立新的理论与方法。本项目拟针对动力系统的旋转周期解的Hopf分支问题进行研究。建立旋转周期解的Hopf分支理论，实际上能以一种统一的方法来解释周期解、反周期解、次调和解以及一种特殊的拟周期解的Hopf分支问题。

旋转周期解既具有时间上的周期性，又具有空间上的某种对称性，是一种带有时空结构的广义周期解。本项目深入研究了旋转周期解的Hopf分支理论，并取得了一些成果。(1)给出了偶数维系统的旋转周期解Hopf分支理论，建立了证明旋转周期解分支存在性的五步法，并使用旋转周期解理论来解释惠更斯耦合振子系统中各种旋转波解的类型和形成条件。在对称惠更斯模型中，满足系统旋转不变性的旋转矩阵形成一个对称群，利用对称群的共轭类和对角化方法，我们得到了有限个振子系统的各种旋转波。(2)在耦合Lorenz系统中给出了奇数维系统或奇数维子系统耦合而成系统中的旋转周期解Hopf分支理论，并讨论了周期和拟周期旋转波的存在性。(3)利用建立的旋转周期解Hopf分支理论讨论了三种不同拓扑网路中耦合范德波尔振子系统的同步解和簇同步解的存在性，同时也展示了旋转周期解分支理论可以应用于解决各种相同步解的存在性问题。(4)利用指数二分法和一些不动点定理，证明了有限或无限时滞微分系统伪仿射周期解的存在性和唯一性。这种仿射周期解是更加广义的旋转周期解,它不同于满足刚性变换条件的旋转周期解，其可以满足一些压缩或扩张变换条件。