奇点理论视角下Anti de Sitter空间的几何性质研究

Anti de Sitter空间（或AdS空间）是具有负常截面曲率的洛伦兹空间型，也是半黎曼几何以及相对论中重要的研究对象。本项目以Legendrian/Lagrangian奇点理论为工具从切触的角度对AdS空间中子流形的外蕴微分几何性质进行研究。包括以下几个方面：1.研究AdS空间中的平坦类时子流形的几何性质，对平坦类时曲面的奇点进行分类并研究其与某些模型曲面（全脐子流形）之间的切触关系；2.利用形变理论和开折理论研究AdS空间中的子流形与该空间的测地线的切触关系，我们考虑子流形沿着测地线的（正交）投射，通常情况下，该投射具有奇点，通过对奇点的几何性质分析得到子流形与测地线的切触关系，从而得到子流形在投射奇点处的外蕴微分几何信息；3.研究AdS空间的高余维子流形的几何性质，利用高余维子流形构造和研究AdS空间中的退化子流形，可以克服由于退化子流形本身的诱导度量的退化性给研究带来的困难。

在项目组成员的共同努力下，基本完成了项目立项时所计划的研究内容。包括：1. 研究了3维Anti de Sitter空间（或，AdS空间）中极限球平坦类时曲面的几何性质和奇点分类问题，该曲面的这种平坦性是洛伦兹不变性。2. 研究了n维AdS空间中退化子流形（或，类光子流形）的几何性质，给出了研究这类子流形的统一方法，利用Legendrian奇点理论描述了在奇点处类光子流形与模型曲面之间的切触关系。3. 研究了4维半欧氏空间中伪球上洛伦兹超曲面（即类时曲面）的高斯指标线的1-参数族的奇点分类及几何性质。4. 以AdS空间中类时超曲面的研究为基础，对广义de Sitter空间中类时超曲面的奇点及几何性质进行了刻画。5. 从微分几何角度对Minkowski空间中由非类光曲线的修正达布向量场生成的直纹面进行研究，证明了这些直纹面都是可展曲面。