求解非线性半定规划的数值算法研究

Nonlinear semidefinite programming (NLSDP) is a new research focus in rescent optimization studies. It is because that nonlinear semidefinite programming can be widely applied in optimal control, combinatorial optimization, robust optimization, game theory, signal processing, system engineering, management science, traffic planning and etc.. Today, there are many effective methods for linear semidefinite programming (LSDP) problem but the studies of NLSDP problems are still under development. Thus, it is very singnificant to study NLSDP problems. We will provide two methods for nonlinear semidefinite programming that base on the optimal conditions of NLSDP, eigenvalue decomposition theory, properities of L?wner operators, and differential properties of matrix-value mapping. The two methods are a class of nonlinear Lagrangian method for NLSDP and a SQP method for NLSDP. The first method modifies Stingl''s algorithm for NLSDP and in the second method, the second-order sufficient conditions of NLSDP with Sigma term has been considered. We want to work hard on the studies of NLSDP problems to contribute to the development of optimization.

非线性半定规划问题是目前优化领域一个新的研究热点。因为它可以广泛应用在最优控制、组合优化、鲁棒优化、博弈论、信号处理、系统工程、管理科学、交通规划等各大领域。目前，虽然关于线性半定规划算法方面的研究工作已经比较深入了，但是关于非线性半定规划算法方面的研究成果还远不够丰富，仍处于不断发展的阶段。因此对非线性半定规划算法进行系统的研究是非常有意义的工作。本项目拟以半定规划的最优性条件、特征值分解理论、L?wner算子理论、矩阵函数的微分性质等为研究基础，给出两类求解非线性半定规划的数值算法：非线性Lagrange函数法和序列二次规划方法。本项目所研究的非线性Lagrange函数法将弥补Stingl关于求解非线性半定规划算法研究工作的不足并，且在研究序列二次规划算法时，我们充分考虑了半定规划二阶充分性条件的Sigma项。本项目旨在研究求解非线性半定规划的有效算法，为最优化的发展做出贡献。

近年来, 非线性半定规划问题成为优化领域一个新的研究热点. 虽然有关线性半定规划算法方面的研究工作已经比较深入了, 但是在非线性半定规划的算法研究上所取得的成果还远远不够丰富, 仍处于发展的阶段. 本项目以半定规划的最优性条件, 特征值分解理论, Löwner算子理论, 矩阵函数的微分性质等理论为研究基础, 给出了一类求解非线性半定规划的数值算法: 非线性Lagrange函数法. 本项目所研究的非线性Lagrange函数法弥补了Stingl关于求解非线性半定规划算法方面的研究工作的不足, 我们给出了与经典的、求解非线性规划的非线性Lagrange函数法的收敛性定理完全对应的收敛性定理, 并给出了算法子问题精确求解时的收敛性证明. 本项目所做的另一个主要工作是给出了当算法的子问题非精确求解时算法的收敛性证明.