分裂变分不等式问题、分裂变分包含问题和几类分层问题的理论及应用研究

The split variational inequality problem and multi-set split variational inequality problem are more general than split feasibility problem and multi-set split feasibility problem which have very strong application backgrounds. Up to now, split zero problem has not been investigated systematically. In this project, firstly, the conditions that the split variational inequality problem, multi-set split variational problem, split variational inclusion problem, hierarchical optimization problem, hierarchical variational inclusion problem and hierarchical fixed point problem have solutions are studied. Secondly, the algorithms which own strong convergence, weaker control parameters and easy computation, are constructed for the problems above by using Krasnoselski-Mann iteration method, metric projection method, gradient method, viscosity approximation method, Rockafellar proximal point algorithm an its other forms, and their minimization norm solutions are obtained. The results obtained are used to solve split optimization problems and split zero problems. Finally, try to get some breaks for the split feasibility problems and split common fixed point problems in Banach spaces.

分裂变分不等式问题和多集分裂变分不等式问题比具有很强实际应用背景的分裂可行性问题和多集分裂可行性问题更加广泛，分裂零点问题到现在还没有被系统地研究。本项目将首先研究分裂变分不等式问题、多集分裂变分不等式问题、分裂变分包含问题、分层优化问题、分层变分包含问题和分层不动点问题解的存在条件。其次，用Krasnoselski-Mann迭代法、度量投影方法、梯度方法、粘性逼近方法、Rockafellar 临近点算法及其变形形式等对上述问题构造出具有强收敛性的、易于计算的、对参数限制要求不高的算法，得到其最小范数解。并将得到的结果用于解决分裂最优化问题和分裂零点问题。力争在Banach空间上研究分裂可行性问题、分裂公共不动点问题能有所突破。

本项目不仅完成了原计划中的各项任务，实现了研究目标，还为未来的研究做了一些前期的研究准备工作。到目前为止，在国内外数学期刊上发表论文53篇，其中SCI收录38篇。我们研究得到了：. （1）得到了Hilbert空间中的几种分裂可行性问题解存在的充分与必要条件，如分裂变分包含、分裂零点问题、分裂优化问题解的存在的充分与必要条件；. （2）关于分裂可行性问题的研究，主要研究了更加广泛的分裂等式问题、分裂等式变分包含问题、分裂等式零点问题、分裂等式优化问题、分裂等式均衡问题等。提出了几种新的易于计算、不涉及投影算子且对参数要求不高的迭代算法，得到了相关问题解的收敛性；. （3）首次把分裂可行性问题和分裂公共不动点问题的研究由Hilbert空间发展到更加广泛的Banach空间。值得指出的是，关于Banach空间中分裂等式变分包含问题和分裂等式均衡问题的研究，到现在也只有我们得到了相应的强收敛性定理。. （4）提出了一种新的迭代算法，在无半紧条件下得到了分裂公共不动点问题解的强收敛性；. （5）对本领域中提出的3个公开问题给出了肯定的回答；. （6）为了将来的研究，我们还研究了CAT（0）空间上的不动点问题、在Hilbert空间、Banach空间、双曲空间中研究了几种多值映射不动点的存在性与收敛性定理。在一致凸的Banach空间和Hilbert空间中分别得到了多值广义非扩张映射和渐近严格伪非延伸映射的半闭性原理（对不动点理论研究十分重要），同时还提出了两种迭代算法得到了这两种映射不动点的强弱收敛性定理。特别是为了今后进一步研究Banach空间和CAT（0）空间上的分裂可行性问题，我们还研究了Bregman投影技术，并运用Bregman投影技术和次微分，在自反Banach空间中分别得到了单值和多值Bregman全拟渐近非扩张映射不动点的强收敛性，所得结果还被用于解决了均衡组问题和极大单调算子的零点问题。