CR奇点和映射芽的开折

Deformation and Unfolding of CR Singularities in Complex Space and Deformation and Unfolding of Mapping Germs in Positive Characteristic Field..This Topic include three basis issues:.(1) Unfolding of singularities. Whether a submanifold with CR singularity will have a CR singularity after a small perturbation. If the singularity exists, then there is the topological and geometric problem of what sort of properties of a given singular point will change or be preserved under perturbation. The finite determinacy and infinite determinacy of CR mappings are discussed..(2) We study the finite determinacy, the stablity and convergence of formal mapping in positive characteristic field. Invariants of singularities in positive characteristic also are considered. Moreover, deformation and unfolding of mapping germs in positive characteristic field are discussed. We discuss in what conditions there exists a universal deformation and unfolding of mapping germ or semiuniversal deformation and unfolding of mapping germ. And when semiuniversal deformation and unfolding of mapping germ exist, how many is the dimension of its base space.

本项目研究复空间中CR奇点的形变与开折和任意特征域上的映射芽的形变与开折。.主要课题：.(1)利用CR结构，研究含CR奇点的实子流形的开折问题。通过小扰动后，探讨其局部内蕴几何性质和拓扑性质。研究CR映射的有限决定性、无限决定性和稳定性。.(2)由于复空间中CR映射的有限决定性和收敛性与复域上的形式全纯映射有重要关系。以此为研究背景，讨论特征为正的形式级数环中奇点的等价分类、有限决定性、稳定性及收敛性。对有限决定的奇点，估计其决定阶数，寻找奇点不变量。讨论这些不变量与有限决定的关系。从而进一步研究特征为正的域上的映射芽的形变与开折问题。最关键的是判别一个映射芽的遍有开折或拟遍有开折存在的条件，以及在拟遍有开折存在时寻找其底空间的维数。

我们讨论了CR奇点的实子流形在CR奇点集附近的局部拓扑和几何特性。通过给实子簇一个微小的形变，研究奇异簇是否存在一个拟通有形变。以及在给定群作用下，CR映射或含CR奇点的流形的有限决定或无限决定时需要什么条件。我们利用交换代数和李代数的工具，给出了在RL等价关系下的光滑映射芽的轨道切空间，证明了截空间中的截映射芽在相应的等价关系下的轨道切空间与映射芽的轨道切空间之间的关系。然后通过一系列逼近引理给出了映射芽的有限决定性的充要条件。这是一个重要的结果，它推广了光滑函数芽的有限决定性的结果，有一定的理论意义。. 在实解析簇上的具有非孤立奇点的函数芽的情形，给出C0-Rv-V(f)充分性条件。之后又考虑了映射芽在平坦扰动项下的稳定性。极大理想的无限幂刚好是一个映射的原像中的误差项。通过讨论形式幂级数环的性质，借助于T映射拉回，讨论原像中元素性质。.在研究上述问题的同时，我们注意到了Jacobi算子和Hardy不等式的相关内容，考虑更为一般的Jacobi 算子，通过计算可知，它既可以视为双曲Laplace算子的径向部分, 也可以看作更为一般的AN群上Laplace算子的径向部分。给出了与Jacobi算子相关的Hardy不等式,求得了相关不等式最佳常数。利用这个不等式, 证明了不同于欧式空间情形，双曲空间上的Hardy不等式可以整体增添Biezis-V\'azquez型余项。这显示了双曲空间和欧式空间的某种差异性。