关于亚纯函数论和几何函数论中的几个问题的研究

Meromorphic function value distribution theoey and geometric function theory are.both of main filed of complex analysis, in these fields still has many interest open problems, For example, Sendov conjecture in geometric function theory, does there existence of non-trival entire function (or meromorphic function) solutions of some Fermat type Diophantine functional equations, and the precise value of minimu cardinal number of CM type uniqueness range sets of entire functions (or meromorphic functions) are not solved yet. To investigate these open problems can abundant and .expand meromorphic function theory and geometric function theory.. In this project, we will stuty the following problems:. (1). The Sendov conjecture of polynomials.. (2). The problem to find the precise value of minimum cardinal number of CM . type uniqueness range sets of entire functions (or meromorphic functions).. (3). The problem to determine the existence of non-trival entire function (or .meromorphic function) solutions of some Fermat type Diophantine functional .equations which contain three unknow functions.. To investigate above three problems, we try to get essence progress even solve some problems.

亚纯函数值分布论与几何函数论均是复分析中的主要研究领域，在这些领域中仍有一些复分析学者比较关注的一些问题没有解决。例如，几何函数论中关于多项式临界点分布的Sendov 猜想、亚纯函数论中关于整函数（或亚纯函数）唯一性像集的最小基数精确值问题和费尔马型丢番图函数方程的非平凡整函数（或亚纯函数）解的存在性问题等均没有彻底解决。对这些问题的深入研究对于丰富和发展几何函数论与亚纯函数值分布论具有重要的意义。本项目拟研究的主要问题是：.（1）、多项式的临界点与零点相对位置关系的Sendov 猜想；.（2）、整函数、亚纯函数CM型唯一性像集的最小基数的精确值问题；.（3）、含三个未知函数的费尔马型丢番图函数方程非平凡整函数（亚纯函数）解的存在性问题。.本项目将争取在对上述问题的研究取得实质性的进展乃至解决其中的一些问题。

亚纯函数值分布论和几何函数论都是复分析中的重要的研究领域，在这两个领域中仍有一些问题没有解决。本项目的主要研究内容为这两个领域中的如下问题：含三个未知函数的费尔马型函数方程的非平凡整函数和亚纯函数解的存在性问题;关于整函数与亚纯函数CM型唯一性像集最小基数问题; 多项式的临界点与零点之间的关系Sendov 问题。. 围绕这些问题的研究，我们得到了下述结论：证明了函数方程f^6(z)+ g^6(z)+ h^6(z)=1没有非平凡的整函数解,而对于n取7或8时，函数方程f^n(z)+ g^n(z)+ h^n(z)=1无非平凡的亚纯函数解。这样对于一般的正整数n,费尔马型函数方程f^n(z)+ g^n(z)+ h^n(z)=1 何时具有非平凡的整函数（亚纯函数解）的刻画也就完全清楚了。我们构造出了一个含6个复数的集合S, 只要非常数整函数f(z)与g(z)以S为CM分担值集，则由f(z)和g(z)确定的一个与S密切相关的特定亚纯函数一定是关于f(z) 和g(z) 的公共小函数。我们还研究了权分担一个CM(或IM)公共值集的亚纯函数唯一性，改进了Fujimoto的一个结果。证明了如果 p(z)是次数不小于2的多项式，且p'(z)的所有零点均位于闭单位圆盘上，p(a)=0 ，则在任何含 a、并关于a 对称的宽度为2的闭带形域上至少有p(z) 的一个临界点。给出了“如果f(z) 是一阶导函数以1为毕卡例外值的无穷级亚纯函数， 则 f'(z)将f(z)的零点集一定映照成一个无界集” 这一结果的新的证明方法。 证明了一类增长级小于1/2的超越整函数的Fatou集的每一个分支都是有界的。找到了一个3n+1数列的动力学性质较好的插值整函数。对Schwick关于正规族的一个判定定则作了推广。