涉及整函数、指数多项式和多项式的三个问题研究

The class of entire functions and its special two sub-class (i.e., the class of polynomials with complex number coefficients and the class of exponential polynomials) are always as importantly objects in the field of complex analysis. Although their theory of these function classes is already compare complete, but still has many interest open problems. For example, Shapiro’s conjecture concerning exponential polyno mials, Smale mean value problem concerning polynomials, and how delicate relation-ship between two entire functions with same maximum modulus function. In this research project, we will deeply investigate above three open problems, we strive for get essence progress even partly solve some of these three problems.

整函数类以及它的特殊的两个子类（即复系数多项式类和指数多项式类）一直是复分析领域重点研究的对象。虽然对这几类函数的研究已取得了丰硕的成果、形成了一套较为完整的理论体系，但也还有许多基本而又十分有趣的问题没有彻底解决。例如，关于常系数指数多项式的Shapiro猜测、关于两个最大模函数相同的整函数之间到底会具有何种微妙的关系、关于多项式的Smale 平均值问题--都还没有彻底解决。本项目拟将对上面提到的三个问题进行深入研究，并争取取得实质性的进展乃至解决其中的一些问题。

本项目对关于常系数指数多项式的Shapiro猜测、关于多项式Smale平均值问题、两个最大模函数相同的整函数之间的关系问题以及与它们相关的几个问题进行了探究。主要得到了如下几个结果：. （1）证明了：若两个常系数指数多项式在复平面上以0为IM分担值，且它们具有公共需点，则在指数多项式环中，这两个指数多项式具有有无穷多个零点的指数多项式因子。这部分地解决了Shapiro猜测.. （2）证明了：若两个非常数指数多项式在复平面上4个张角大于π 的每一个角域内，都具有1个有穷的CM分担值，而且这4个分担值是判别的，则这两个指数多项式一定恒等.. （3）设n是不小于2的整数，M(n)是最小正数，使得n次多项式P(z)只要满足P(0)=0，P’(0)=1，就一定存在P(z)的临界点C满足|P(c)/c| ≤ M(n)。我们证明了M(n)（n=2,3，... ...）是递增数列.. （4）证明了复平面上每一个增长级小于1/2的亚纯函数都是某完备极小曲面的Gauss映射.. （5）证明了：如果f(z)为整函数，f(f(z))是以1为周期的周期函数，且f’(z+n)（n=1,2，...）在复平面上不局部一致收敛于0，则f(z)也一定是周期函数.