具有时-空时滞的非对称型非局部扩散方程的传播动力学

Recently, many reaction-diffusion equations with nonlocal effects have been derived in neural network, material science and population dynamics, their dynamical behaviors have attracted great attentions of famous scholars, such as H.Berestycki, F.Hamel etc. Currently, most of the researches on the propagation dynamics of nonlocal dispersal equations are based on the symmetry of the kernel function. However, in practice it is often necessary to consider the asymmetric dispersal machanism caused by spatial heterogeneity and external factors. This project is to study traveling wave solutions, propagation speeds and entire solutions of nonlocal dispersal equations and cooperative systems with spatio-temporal delay and asymmetric dispersal kernel. The main contents include: Study traveling wave solutions of nonlocal dispersal equations with spatio-temporal delay and asymmetric kernel function in quasi-monotone case and non quasi-monotone case; Study traveling wave speeds and entire solutions of such equations, expand the general theoretical methods of studying traveling wave solutions and entire solutions of asymmetric nonlocal dispersal equations; Study traveling wave solutions and entire solutions of asymmetric nonlocal dispersal cooperative systems with spatio-temporal delay, and apply the abstract results to epidemic models and population dynamics models, Moreover, investigate the influence of the asymmetry of the kernel, spacial nonlocal effect and time delay on the dynamics of equations.

近年来，在神经网络、材料科学、种群动力学等学科的研究中，导出了大量具有非局部效应的反应扩散方程，其动力学行为引起了国内外著名学者的极大关注，如H.Berestycki，F.Hamel等。目前对非局部扩散方程传播动力学的研究，大部分都是基于核函数对称建立的，而实际中常需考虑由空间非均匀性和外界因素引起的非对称扩散机制。本项目拟研究具有时-空时滞的非局部扩散方程和合作系统在核函数非对称时的行波解、传播速度和整解的相关问题。主要内容有：研究时-空时滞非对称非局部扩散方程分别在拟单调和非拟单调情形下的行波解及其性质；研究该类方程的传播速度和整解，发展研究非对称型非局部扩散方程行波解和整解的一般理论方法；研究具有时-空时滞的非对称型非局部扩散合作系统的行波解与整解，并将抽象结果应用到传染病和种群动力学模型，探讨核函数的非对称性、空间非局部效应以及时滞对疾病传播和生物入侵的影响。

空间非局部作用和时滞现象普遍存在于自然现象中，因此对具有时滞的非局部扩散方程和系统传播动力学的研究是非常重要的。本项目主要研究了当扩散核函数非对称时，具有时空时滞的非局部扩散方程和三种群竞争合作系统的行波解、传播速度以及整解。. 首先，分别研究了当核函数非对称时单稳型和双稳型非局部扩散方程的行波解和整解。对单稳型非线性项，证明了几类新型整解的存在性及其定性性质，并得到了核函数对称时所得整解的唯一性以及关于波速参数和平移参数的连续依赖性。对双稳型非线性项，首先利用特征值问题和Ikehara定理得到了单稳行波和双稳行波在无穷远处的渐近行为，然后建立了三类不同的由行波耦合而成的合并整解的存在性及其定性性质，并进一步研究了核函数的非对称性对临界波速的影响。. 其次，研究了具有非局部时滞效应的非迷向型非局部扩散方程的临界波速及行波解。考虑到扩散核函数和非局部时滞效应函数的非对称对方程临界波速的影响，我们首先分析特征函数的性质，对临界波速的情形进行分类，进而讨论两个核函数的非对称性对临界波速的具体影响；然后在单稳条件下，利用上下解技巧及临界波速的分类得到了单调行波解的存在性，并进一步研究了行波解及其导数在负无穷远处的渐近行为。. 最后，分别研究了离散扩散模式和非局部扩散模式下三种群竞争-合作系统的双稳行波解，为了克服由多个方程耦合带来的复杂和困难，我们将原系统对应的行波系统化为积分系统，通过截断方法和极限理论得到了系统双稳行波解的存在性和严格单调性，并进一步得到了行波解的渐近行为和唯一性。. 本项目的研究成果从动力学的角度揭示了核函数的非对称性以及系统的耦合性对方程和系统行波解以及整解的具体影响，进一步丰富了非局部扩散方程的理论知识，为更好地认知非局部问题的本质特征提供帮助。