关于具非局部时滞的反应扩散方程的分支研究

Nonlocal delays depict the correlation between the population growth rate at the moment and the population nearby in the past. Thus to study the dynamics of reaction-diffusion equations with nonlocal delay has great significance in both theory and practice. However, most of related results come from the existence of traveling wave solutions and the stability of the constant equilibrium; there is relatively little study on bifurcations. This project mainly focuses on the reaction-diffusion equations with nonlocal delay. By employing bifurcation theory of infinite dimensional dynamical systems and basics of partial different equations, we will investigate the following contents under various boundary conditions: 1) dissipativeness and uniform persistence of the system, stability of constant equilibria, and existence and properties of Hopf bifurcations, steady state bifurcations induced by the average delay, as well as Turing instability induced by diffusion; 2) existence and stability of spatially nonhomogeneous steady-state solutions, existence and properties of their Hopf bifurcations and steady state bifurcations induced by the average delay, and global existence of periodic solutions bifurcating from the spatially nonhomogeneous steady state with special weight functions. This project aims at investigating how nonlocal delay and diffusion can affect the qualitative and topological structure as well as providing reasonable mathematical explanation for certain biological phenomena.

非局部时滞刻画了现时刻种群增长规律与过去时间段内周边种群数量的关联性，因此研究具非局部时滞的反应扩散方程的动力学行为有极强的实际意义和理论价值。然而，目前大部分工作仍集中在行波解存在性和常值平衡点稳定性，分支方面的研究还较少。本课题主要针对含非局部时滞的反应扩散方程，利用无穷维动力系统分支理论和偏微分方程基本知识，在不同边值条件下研究以下内容：1）系统的耗散性、一致持久性，常值平衡点的稳定性和“平均时滞”引发的Hopf分支、稳态分支及“扩散”导致的Turing分支的存在性及性质；2）空间非齐次稳态解的存在性、稳定性及“平均时滞”连续变化导致的Hopf分支、稳态分支存在性及性质，并针对特殊加权函数，研究从空间非齐次稳态解分支出的周期解的全局存在性。本项目旨在揭示“非局部时滞”和“扩散”是如何影响系统的定性结构和拓扑结构，同时为某些生物现象提供合理的数学解释。

本项目主要研究具空间非局部时滞的反应扩散方程的稳定性、分支及行波解问题。主要研究内容及结果如下：（1）在Neumann边值条件下，研究系统常值平衡点的局部稳定性，并以平均时滞为分支参数研究Hopf分支的存在性、稳定性及方向。结果表明，在强核情形下，平均时滞可能导致Hopf分支和稳定性开关；（2）在齐次Dirichlet边界条件下，研究空间非齐次稳态解的存在性和稳定性，并以扩散系数为分支参数研究稳态分支的全局存在性；特别地，在一维空间情形下，得到稳态解的存在唯一性。结果表明，当核函数是时空平均时，空间非齐次稳态解在一定条件下是稳定的，Hopf分支没有发生；（3）对于具比率依赖的Holling-Tanner捕食食饵系统，在一定条件下得到连接两个非负平衡点的行波解的存在性，并得到最小波速，其次利用Hopf分支定理得到周期行波的存在性。对于具分布时滞的系统，利用几何奇异理论得到，当平均时滞较小时，行波解仍然存在；（4）针对具非线性捕获项和随机扩散的捕食食饵自治系统，研究了系统存在唯一的平稳分布，并具有遍历性；对于具有周期系数的系统，利用KHasminskii理论研究了正T-周期解的存在性；另外针对具有脉冲影响的非自治Holling-Tanner 捕食食饵系统，首先转化为无脉冲影响的系统，然后证明正周期解的存在性，并利用比较原理证明了边界周期解的存在性和全局吸引性。