超曲面上极大平均有界性估计的若干研究

Bounded estimates for maximal averages over hypersurfaces in n-dimensional Euclidean space play a significant role not only in understanding the differentiability of functions but also in studying problems about pointwise convergence of solutions to general parabolic equations, however, since the research is rather difficult but the tools are very few, it is one of the core topics of modern harmonic analysis. By making full use of stationary phase method, angular decomposition, oscillatory integral estimates and a lot of very difficult geometry and analysis techniques used in proving regularity estimates and local smoothing estimates of Fourier integral operators by Mockenhaupt-Seeger-Sogge, the program will concentrate on studying the following three problems: bounded estimates for maximal operators associate with nonisotropic dilations of hypersurfaces not passing through the origin in three-dimensional Euclidean space；bounded estimates for maximal operators associate with nonisotropic dilations of hypersurfaces in higher dimensional space; bounded estimates for two-parameter maximal operators associated with non-homogeneous hypersurfaces in n-dimensional Euclidean space. The research results will not only enrich the theories of maximal operators associated with hypersurface, but have very important application value in partial differential equations.

在n维欧氏空间中超曲面上极大平均的有界性估计不仅在研究函数可微性中扮演着非常重要的角色，而且在探求一般双曲方程解的逐点收敛性中起着举足轻重的作用，但因研究难度很大而工具甚少，它已成为近代调和分析的核心课题之一。本项目通过利用静相分析方法、角分解方法、振荡积分估计以及Mockenhaupt-Seeger-Sogge在建立傅立叶积分算子正则性估计以及局部光滑估计中使用的大量高难度几何与分析技巧，对以下三个方面的问题进行研究：在三维欧氏空间中与非同向伸缩和未经过原点超曲面相关的极大算子有界性估计；更高维欧氏空间中与非同向伸缩相关的超曲面极大算子有界性估计；在n维欧氏空间中与非齐型超曲面相关的双参数极大算子有界性估计。这些研究结果不仅极大地丰富了超曲面上极大平均的理论知识，而且必将在偏微分方程的研究中表现出非常重要的应用价值。

带初值的自由薛定谔方程解点态收敛的Carleson问题（转化为薛定谔算子的极大估计）一直以来备受调和分析专家的关注，近年来薛定谔算子的径向极大估计问题几乎得到了彻底的解决（除了端点）。但关于薛定谔算子沿曲线或者非切向极大估计的结果却非常少，主要是因为相应的极大估计研究非常困难且工具甚少，目前仅对一维空间上沿一些特殊曲线的极大函数取得了结果。在本项目的支持下，首次研究了二维空间上带初值的自由薛定谔方程解沿某类特殊曲线的点态收敛性并给出了收敛的必要条件，主要借助于近年来发展的调和分析前沿工具，如多项式分解、波包分解还有Broad-Narrow分析等，与这些工具相关的论文非常难理解，涉及几何，组合论，数论，分析等知识，但对将来彻底解决项目原计划中的研究内容奠定了坚实的基础。第二，建立了经典算子（如薛定谔算子）与其适当扰动的算子之间在收敛性上的等价性。作为推论，利用众所周知的经典薛定谔算子的几乎最优极大估计，获得了在n维空间里，Boussinesq算子，Beam算子的点态收敛性，并通过构造反例说明了在二维空间中s>1/3实际上是最优的，这也回答了目前未解决的一个公开问题。另外，也建立了一类扰动的非椭圆的薛定谔型算子的极大估计，从而获得了此类算子的点态收敛性。第三，建立了函数的光滑性与一类具有多项式增长的薛定谔算子的收敛速度之间的关系，极大的推广了目前已知的一些结果。第四，建立了一族沿抛物面的振荡积分的限制性估计。第五，通过构造反例来说明第一阶交换子从乘积Hardy空间到Lebesgue空间不是有界的，但从乘积的抽象加权Hardy空间到加权的Lebesgue空间是有界的。这些结果将对偏微分方程的研究起到很重要的作用。