极大算子与多重线性算子在变指标函数空间上的有界性

Variable exponent function spaces have been widely applied in differential equations, electrorheological fluids, elastic mechanics, image restoration and so on. For their applications, one important tool is the boundedness of the maximal operator and multilinear operators on them. The applicant and his collaborators have established real variable theory of variable exponent (Herz) Besov spaces, Triebel-Lizorkin spaces and Herz-Morrey-Hardy spaces, basic proprieties of variable exponent Banach space valued Sobolev spaces and Bochner-Musielak-Orlicz spaces, characterization of best approximation in Bochner-Musielak-Orlicz spaces, and boundedness of multilinear singular integrals on variable exponent function spaces. Based on these results, firstly we shall study the bounedness and continuity of the (strong) maximal operator and the local maximal operator in variable exponent Sobolev spaces and variable exponent Triebel-Lizorkin spaces. Then we shall investigate the boundedness of multilinear singular integrals, multilinear Fourier multipliers, bilinear paraproducts and multilinear pseudo-differential operators on variable exponent Besov and Triebel-Lizorkin spaces.

变指标函数空间广泛应用于微分方程,电变流体,弹性力学,图像恢复等.作为应用的重要工具之一是极大算子与多重线性算子在变指标函数空间上的有界性.申请人及其合作者已建立了变指标(Herz型)Besov空间和Triebel-Lizorkin空间,变指标Herz-Morrey-Hardy空间的实变理论;巴拿赫值的变指标Sobolev空间与Bochner-Musielak-Orlicz空间的基本理论及Bochner-Musielak-Orlicz 空间的最佳逼近特征刻画;多重奇异积分算子在变指标函数空间上的有界性等.本课题拟在这些基础上先研究(强)极大算子和局部极大算子在变指标Sobolev空间和Triebel-Lizorkin空间上的有界性与连续性，然后研究多重奇异积分算子、多重Fourier乘子、双线性仿积算子和多重拟微分算子在变指标Besov空间和Triebel-Lizorkin空间上的有界性.

受变指标函数空间在微分方程、流体学、弹性力学、图像恢复、金融等应用的影响，许多经典的常指标函数空间都被扩展为变指标的情形。奇异积分算子和拟微分算子不但在研究偏微分方程中起着非常重要的作用，而且它们可以应用于数论，金融学等。本课题对变指标函数空间的刻画, 双线性算子的有界性，变指标函数空间内最佳逼近与准紧集的判断准则等问题进行研究。首先，通过建立一类向量值的卷积算子在变指标空间的有界性得到变指标的弱Triebel-Lizorkin空间,Buw型的Morrey-Triebel-Lizorkin空间和与非负算子相伴的变指标Besov空间的原子分解与分子分解刻画；利用球平均刻画变指标Sobolev空间。得到加权的变积分指标、变光滑指标及变求和指标的Besov空间的逼近刻画、提升性质、嵌入关系、插值空间等。利用Bergman投影算子和极大算子的有界性得到变指标Bergman空间和Bergman-Orlicz空间的导数和Lipschitz型刻画。其次，通过建立变指标指标的Triebel–Lizorkin空间的逼近刻画，得到相伴于双线性Hörmander 类的双线性拟微分算子在变积分指标、变求和指标和变光滑指标的Besov和Triebel-Lizorkin空间上的Leibniz估计。利用积分估计得到双线性Hardy算子和双线性奇异积分算子在变指标Herz-Morrey空间乘积空间上的有界性。通过建立一个新的有界平均振荡函数的刻画得到双线性Hardy算子与有界平均振荡函数生成的交换子在加权变指标Herz-Morrey空间上的有界性。再次，得到变指标大Bochner-Lebesgue空间内可近集的特征刻画和变指标Bochner-Lebesgue空间的同时逼近的刻画。通过极大算子的有界性得到一些多项式逼近算子在一些变指标空间上的一致有界性。最后，建立了变指标Lebesgue空间和Bochner-Lebesgue空间内的准紧子集的一些判断准则。这些成果对在其他学科的应用提供了基础。