与平均算子相关的有界性与紧性

In this project we will study the boundedness and compactness associated with averaging operators, which have been widely in Harmonic analysis, differential equations and Geometrical analysis, such as embeddings of function spaces, singular integrals and the Euler differential equation. First, We study weighted boundedness of the one dimensional Hardy type operators minus the identity on Lebesgue space. Meanwhile, we work out the corresponding operator norms. As applications, we obtain sharp bound for Beurling-Ahlfors transform on weighted Lebesgue space. We also extend the above research work to the one dimensional m order Hardy operator and n dimensional Hardy operator, respectively. Moreover, we will focus on some corresponding results on Heisenberg group. Second, we will study the boundedness and compactness of bilinear Hardy operators and their commutators. Besides, we will obtain the characterization of some function spaces. Finally, we will extend the above research work to bilinear Hausdorff operators.

本项目的研究对象是与平均算子相关的有界性与紧性，它在调和分析，微分方程与几何分析中有广泛应用，比如函数空间嵌入、奇异积分与欧拉微分方程。首先研究Hardy型平均算子减去恒等算子在Lebesgue空间上的加权有界性与相应的算子范数。作为应用得到Beurling-Ahlfors变换在加权Lebesgue空间上有界的最佳常数。研究将上面的结果推广到一维的m阶Hardy算子与n维Hardy算子情形以及Heisenberg群上。其次研究双线性Hardy算子的紧性刻画，研究双线性Hardy算子交换子的有界性与紧性，用来刻画一些函数空间。最后将这些结果推广到双线性Hausdorff算子。

在本项目中，我们主要考虑与平均算子相关的一些积分型算子在一些加权Lebesgue空间上的有界性与紧性问题，Hardy型平均算子的有界性研究与调和分析中的Hardy-Littlewood极大算子、Hilbert变换与函数空间嵌入等密切相关，同时在偏微分方程、复变函数论等领域中有重要应用。研究的有界性包括强型有界与弱型有界以及端点有界，同时得到它们有界的最佳常数与充要条件。首先研究一维经典Hardy型平均算子在加幂权的Lebesgue空间上的端点有界性的充要条件，并给出有界的算子范数，这些结果对于一类更一般的平均算子也是正确的。同时可将这些结论推广到高维Hardy型平均型算子上。其次得到了Christ与Grafakos在Proc. Amer. Math. Soc. 123 (1995), 1687-1693定义的一类平均算子在Lebesgue空间上的弱型端点有界性，并得到了有界的算子范数，这些结果都可以推广到加幂权的Lebesgue空间。同时给出了这类算子在带末端的非双倍流形上的强型估计与弱型估计。研究了与Laplace变换相关的一些积分型不等式在q积分下的相应形式，并得到估计的最佳常数。最后也研究了算子H*-I在一些函数空间上的有界性结论，例如加幂权Lebesgue空间。作为应用，可以得到Beurling-Ahlfors变换的一些加权弱型有界与强型有界。