向量丛的模空间里的曲线

The curves on an algebraic variety is one important research in algebraic geometry, and the moduli spaces of vector bundles over an algebraic curve form a class of important varieties. To study the cuves on a moduli space of vector bundles, which is helpful to the study of the moduli space itself and can provide inspiration to study curves on the varieties..This project aims to study rational curves and elliptic curves on the moduli space of stable bundles over an algebraic curve with genus g>2. Firstly, we will judge the lines of split type are minimal rational curves or not on the moduli space of stable bundles when g=3，r=2 and d is even, and then determine all minimal rational curves on the moduli space, which is a supplement of Sun’s Theorem. Secondly, we will study the rational curves, especially the Hecke curves and their degeneration, on the moduli space of stable bundles of rank bigger than 2, and then obtain some informations of the Chow-group of 1-cycles of the moduli space. Thirdly, we will estimate the boundness of the degrees of elliptic curves on the moduli space of stable bundles of some odd ranks and determine the elliptic curves of minimal degree.

代数簇上的曲线是代数几何中的一个重要研究方向，而代数曲线上向量丛的模空间是一类非常重要的代数簇。研究向量丛的模空间里的曲线，一方面有助于研究模空间本身的性质，另一方面可以为研究一般代数簇里的曲线提供启发。.本项目旨在研究亏格大于2的代数曲线上的稳定向量丛的模空间里的小亏格曲线，即研究模空间里的有理曲线和椭圆曲线。一是对g=3，r=2，d是偶数的情况，判断分裂型直线是不是模空间里的极小有理曲线，进而完全确定模空间里的极小有理曲线，补充有关稳定向量丛的模空间里极小有理曲线的孙的定理；二是研究秩大于2的稳定向量丛的模空间里的有理曲线，特别是Hecke曲线及其退化情况，进而研究模空间的1-cycle的Chow-群；三是研究某些奇数秩的稳定向量丛的模空间里的椭圆曲线的次数的下界，以及确定低次椭圆曲线的类型，进而验证孙笑涛提出的有关向量丛的模空间里的椭圆曲线的猜想。

代数簇上的曲线特别是有理曲线是代数几何的重要研究课题之一，而代数曲线上向量丛的模空间是一类非常重要的代数簇。本项目旨在研究模空间里的有理曲线和椭圆曲线。其一，我们研究了秩为2的模空间里的极小有理曲线，证明了对模空间的任意一点都有穿过它的分裂型有理曲线，特别是当g=3, r=2, d是偶数时这说明存在非Hecke型的极小有理曲线，这补充有关稳定向量丛的模空间里极小有理曲线的孙的定理。其二，我们研究了广义Kummer簇的代数链，清晰计算了任意Abel曲面对应的广义Kummer簇的Chow动机。其三，我们对向量丛的模空间里有理曲线的现状做了一个较为全面的总结。