代数曲面纤维化和曲线模空间的几何

Fibrations and moduli spaces are important in the classification of algebraic varieties, and they are closely linked with each other. Modular invariants are numerical invariants connecting fibrations of algebraic surfaces with moduli spaces of curves, and they have different presentations in various branches of mathematics. This project focuses on the following three questions: 1. based on the work before, we want to obtain the best lower bounds of moduli invariants, and classify the fibrations with the bounds. 2. complete the previous work on the existence of curves in moduli spaces with prescribed intersection with boudary divisors. 3. for separating curves of type i, we hope to give the optimum bounds of the degrees of the roots of Dehn twists, and classify the roots reaching the bounds.

纤维化与模空间的研究都对代数簇的分类有着重要作用，而且二者紧密联系在一起。模不变量是联系曲面纤维化和曲线模空间的一个数值不变量，在数学的各个分支都有不同的体现。本项目主要研究以下几个问题：1.在已有工作的基础上，估计模不变量的精确下界，并分类达到下界的纤维化；2. 完善关于模空间中与边界除子有特定相交关系的曲线的存在性；3. 对于i-型可分曲线，确定Dehn twist 根的次数极值，以及达到极值的根的分类。

正式发表SCI论文一篇，已投稿论文两篇。.分类问题是数学的核心问题，模不变量已被证明是双有理代数几何、算数代数几何、模空间、微分方程和低维拓扑中的重要不变量。本项目在原有基础上继续研究模不变量的绝对下界，以及达到下界的纤维化的分类问题。新得到如下结果：.1. 给出了有理函数型纤维化（由有理函数的图像和直线最为分歧轨迹，通过二次覆盖得到的纤维化）模不变量的严格下界及分类；.2. 证明了模不变量与伪周期映射的分式Dehn twist 系数（低维拓扑中重要的不变量）之间有等式关系；.3. 给出了伪周期映射的非零分式Dehn twist 系数的一致下界；.4. 给出了此系数在亏格2，3时的严格下界，以及达到下界时的分类；.5. 给出只与模空间中一个边界除子相交的有理函数型曲线的分类和计数；.6. 发现很多情况下，与模空间中给定的边界除子相交在一般位置的曲线亏格大于0，其严格下界待求；.7. 有效的Shafarevich 问题：给出直线上有s根奇异纤维的变模纤维化的个数上界，比已知结果好很多。