曲线族的模和有限偏差映射的几何与分析

We are going to study the method of moduli of curve families in metric measure space and apply this method to the theory of mappings with finite distortion, especially in the study of Q-homeomorphisms. Two new dilatations will be introduced and used to relax the conditions of differentiability and property of ACL of mappings. The optimal modulus of continuity and the optimal regularity of mappings of finite distortion are going to be established. We are also about to give characterization of QED and NED domains and characterize the boundary behavior of Q-homeomorphisms. This project will provide a proper mapping class for the nonlinear elasticity and show the important role of the method of moduli of curve families in the study of modern mapping theory.

研究在一般度量空间上定义的曲线族的模方法， 并将模方法应用于有限偏差映射，尤其是Q-同胚等现代映射理论的研究中。定义两个新的伸张，进一步放宽保证映射可微性和 ACL 性质的条件，建立一类有限偏差空间映射的最优连续模和最优正则性。给出 QED 和 NED域等区域的新的本质特征，刻画Q 同胚的边界表现。通过本项目的研究，为非线性弹性形变提供一类合适的函数类作为框架，并进一步揭示曲线族的模方法在现代空间映射研究中的重要作用。

拟共形映射是共形映射的自然推广，拟共形映射及其应用是现代复分析研究领域中的热点问题，作为拟共形映射的进一步推广，有限偏差映射将拟共形映射的一致有界偏差的要求放松到只要求映射的偏差是几乎处处有限的，有限偏差映射在退化椭圆型偏微分方程和非线性弹性理论中有重要的应用。. 曲线族的模是拟共形和拟正则映射理论研究的主要工具之一，拟共形映射本身就可以通过共形模来定义，模方法自然联系了映射的度量和其几何表现，特别是模方法能有效解决了某些映射类的可微性、边界表现、偏差估计等问题。. 本项目的主要研究内容是：(1) 高维欧几里德空间中Q-同胚的绝对连续性和可微性以及Hausdorff维数在Q-同胚下的偏差估计；(2) 穿孔单位球上Q-同胚奇点的可去性和Q-同胚的边界表现以及Q-同胚的开性和离散性；(3) 各种双曲型度量的几何性质，例如测地线的存在性、光滑性、可延长性等；(4) 双曲型度量球的凸性和近于凸性；(5) 双曲型度量空间之间映射的性质和度量球之间的包含关系；(6) Ramanujan模方程的解和拟共形特殊函数之间的内在联系。. 在本项目的研究中，我们获得了以下重要结果：. (1) 给出了高维欧几里德空间中Q-同胚具有绝对连续性和可微性的若干充分条件，在高维欧几里德空间中找到了具有最优连续模和最优正则性的Q-同胚，获得了控制函数Q为单位球上的可积函数的同胚的偏差的精确上下界估计。. (2) 证明了穿孔单位球上的Q-同胚奇点的可去性，刻画了Q-同胚的边界表现。. (3) 在几类典型区域上获得了一些双曲型几何的测地线的存在性、光滑性和测地线在一定长度内的可延长性；证明了凸域中的几类双曲型度量球的凸性和近于凸性；在一般区域中获得了小半径度量球的凸性和近于凸性。. (4) 澄清了Ramanujan模方程的解和拟共形特殊函数之间的本质联系，给出Ramanujan模方程的解及相关的拟共形特殊函数的系列分析和几何性质。. 上述研究内容和所获得的研究成果具有很强的学科交叉性和综合性，并具有广阔的应用前景。