半参数回归模型中随机误差分布的检验问题

In regression analysis, it is usually assumed that the random error is from a speical family of distributions or a symmetric distribution. Under these two assumptions, we can get statistical inference methods, which have very good statistical properties. Different from classical testing problems for distributions, the random error is unobserved, and testing for its distribution characteristics depends on the estimations of regression functions. Since the residuals are not independent, it may be difficult to develop the related theories for the testing problems. In this project, we aim to investigate the goodness of fit and symmetry testing problems for the distributions of random error in the partial linear model and single index model. The research work mainly includes: 1. For the goodness of fit for the distribution of random error, obtain the statistical properties of the empirical distributions of the residuals in these two classes of semiparametric regression models. Construct test statistics based on the empirical distributions or the density estimators of the residuals and then study their asymptotic properties. 2. For the symmetry testing problem for the distribution of random error, compare the empirical distributions or the density estimators of the random error and its opposite number, construct empirical process or U-process based test statistics and then study their asymptotic properties when the symmetry holds and not. 3. The theoretical results will be applied to economics, finance and biology, etc to see the contribution of this proposal.

在回归分析中，常常假定随机误差来自某一特定的分布族或具有对称分布。在这两种假定下，往往可以得到具有良好统计性质的统计推断方法。不同于传统的分布检验问题，随机误差是不可观测的，对其分布特征的检验依赖于回归函数的估计。由于残差不是独立的，因而相关的检验理论上具有一定难度。本项目旨在研究部分线性模型和单指标模型中随机误差分布的拟合优度和对称性检验问题，研究内容具体包括：1. 针对随机误差分布的拟合优度检验问题，得到上述两类半参数回归模型中残差经验分布的统计性质并基于残差的经验分布和密度函数估计构建检验统计量，研究检验统计量的渐近性质。2. 针对随机误差分布的对称性检验问题，通过比较随机误差及其相反数的经验分布或密度估计构建基于经验过程或U-过程的检验统计量，进而研究在对称性假定成立和不成立时统计量的渐近性质。3. 将上述理论结果应用到经济金融和生物等领域，体现本项目的应用价值。

对称性检验是统计学中的一个非常经典和重要的问题，在包括生态、环境以及经济金融等领域有着广泛的应用。尽管对于对称性检验文献中已有大量的研究，然而大多数研究主要针对变量是一维的情形。在多元情形下，直接推广一元情形的理论方法会出现维数祸根问题，导致统计量表现不佳。本项目研究了如何对多维随机变量进行对称性检验，提出了一种基于特征函数加权积分的方法，在适当权函数下，该积分具有显式表达式。根据U统计量的理论方法推导出了所提统计量的渐近性质，同时构造了Bootstrap算法加以实现并论证了算法的相合性；研究了多元对称分布未知中心参数的估计问题，提出了一种最小距离的估计量，能够兼具有效性和稳健性，得到了所提估计量的渐近正态性；另外还对回归模型下随机误差给定协变量时的条件分布进行了对称性检验，同样构造了形式简单易于计算的统计量，并推导出了所提统计量的渐近分布。以上研究有力的解决了对称性检验中所存在的维数问题，而且所提思路方法具有一定一般性，能够对其他相关的检验问题提供可行的途径。. 本项目还研究了如何对统计学中的经典算法EM算法进行改进以提高该迭代算法的收敛速度。另外还研究了如何对非参数广义似然比统计量进行改进以纠正统计量的渐近偏差和回避维数问题。在研究了上述统计理论方法后，我们进一步讨论了这些统计理论方法在经济金融中可能的应用。. 在项目资助下共完成了6篇论文，其中 3篇论文已经发表，1篇论文已经在线发表，另有2篇论文已被统计学知名期刊Computational Statistics and Data Analysis要求修改。