对一类分数阶扩散方程的快速算法及其不确定性量化问题的研究

In recent years, fractional differential equations have been widely used in many fields such as physics, materials, finance, and etc. However, the nonlocality of the fractional operators often makes the numerical calculation very costly. Therefore, to establish efficient numerical algorithms for fractional differential equations is of great significance both theoretically and practically. Meanwhile, there is a lot of uncertainty behind of the fractional models, and the uncertainty quantification of fractional diffusion equations is still a fresh research area with no matured results so far, which makes this project very challenging. In this research project, we will use the sum-of-exponential approximate for the singular kernel of the fractional derivative, and use the iterative formula to speed up the computation for a class of fractional diffusion equations. At the same time, we intend to use the L2-σ approximation to obtain the second-order stable difference scheme. Subsequently, we will consider to set the diffusion coefficient as a random function, and use the stochastic collocation method to study the uncertainty quantification problem of the fractional equation. It is worthy to mention that the non-locality of fractional-order equations and the randomness of uncertainty quantization will double the complexities of numerical calculations. This research will provide a feasible framework for future investigations of the uncertainty quantification of fractional differential equations.

近年来，分数阶扩散模型被广泛应用于物理、材料、金融等诸多领域。但由于分数阶算子的非局部性，其模型的数值模拟计算成本极大，因而建立高效的分数阶数值算法具有十分重要的意义。与此同时，分数阶数学模型背后存在很大的不确定性，但目前对其不确定性量化问题的研究尚未有成熟的成果，因而极具挑战性。本项目中，我们将研究一类分数阶扩散方程的快速算法及其不确定性量化问题。我们首先拟对分数阶导数的奇异核进行指数和逼近，并利用迭代公式，得到该类方程的快速算法。同时，拟利用L2-σ逼近，得到该类方程的二阶稳定差分格式。随后，我们会考虑将方程的扩散系数拓展为一个随机函数，利用随机配置法，进一步研究关于该方程的不确定性量化问题。在本研究中，分数阶方程的非局部性和不确定性量化的随机性导致了数值计算的双重复杂度。而本项目中所提出的方法，也为研究一般情形下分数阶方程不确定性量化问题提供一个可行的研究思路与框架。

本项目针对一类分数阶对流扩散方程提出了高阶稳定的有限差分格式，实现其快速算法，进行理论分析，并将相关数值理论结果成功运用到岩土工程地震波传播探测和隧道掘进等实际问题中。. 在数值理论方面，利用随机配置法，研究了该方程的不确定性量化问题。提出态式近场动力学模型的快速算法，提出对时间依赖的全方向空间分数阶方程的快速算法。对 Caputo-Fabrizio型时间分数阶方程，提出了一类全新的快速差分算法。针对两个时间尺度的可变阶时间分数阶扩散方程的求解问题，我们开发了一种有效的最小二乘支持向量机方法。. 在岩土工程应用方面，针对传统交错网格有限差分格式在地震波正演模拟过程中易诱发数值频散的不足的问题，提出了基于神经网络的优化交错网格有限差分方法，对高阶非局部的差分模板和低阶局部的差分模板进行智能组合。利用分数阶算子的扩张局域化技术，结合无界区域谱方法，设计了能精确求解时间分数阶波动方程的短记忆算法。基于上述分数阶波动方程的短记忆快速算法，对粘弹性岩土介质中地震波的传播过程进行了高精度的数值模拟，揭示了在不同隧道粘弹性岩土介质中的地震波传播和衰减规律。另外，我们选择了中国云南的高黎贡山隧道作为研究对象，该隧道有一个先导隧道。我们研究了掘进地震法和主动震源法在不同探测距离下的优势，并结合两种方法来确定地质条件。. 综上所述，项目申请人在分数阶对流扩散方程的数值算法的研究上获得了许多成果，相关的数值结果有效地解决了岩土工程中的一些实际问题，对地质探测和岩土性质的研究具有重要的指导意义。基于以上研究进展，项目申请人及其合作者共发表学术论文10篇，获批国家专利6项，较好完成项目计划。