高维半参数回归模型中的若干检验问题

In the last two decades, statistical analysis on the high dimensional data has become one of the most important issues because this type of data is often encountered in many fields,such as medicine economics, engineering. In this project, we focus on some testing problems for the high dimensional semi-parametric regression models, including high dimensional semi-parametric single index models and high dimensional varying coefficient models. For the hypothesis testing method in varying coefficient models, under the null hypothesis, we use the recent methods of the variable selection, we select and estimate the important variables in parametric and nonparametric part, and we obtain the residuals and construct empirical distribution function based on these residuals, we also investigate large-sample properties for the estimator. Secondly, we obtain residuals and the empirical distribution function under the alternative hypothesis, associated with large-sample properties. Next, we use these two empirical distribution functions to construct test statistics, namely, Kolmogorov-Smirnov test statistic and Cramer-von Mises test statistic, we also investigate limiting distributions for these test statistics. For high-dimensional single-index model, we construct the empirical process statisics to check the adequacy of the model. We studies the asymptotic properties and numerical reuslts for the statistics. In the application, real data analyses are conducted based on the our methods to see the contribution of this proposal.

高维数据在近20 多年来一直是统计学研究的重要问题之一，因其常常出现在医学，经济学，工程学等实际工作与研究领域而备受关注。本项目将重点研究高维半参数模型中的一些检验问题，模型主要包括高维单指标模型与高维变系数模型。对于变系数模型的检验方法，在原假设下，我们利用现有的变量选择方法，选择与估计原模型下参数部分与非参数部分重要变量，得到残差，并基于残差构造经验分布函数，给出此分布函数的大样本性质。进一步，我们在备择假设下，得到残差及其经验分布函数，并研究其大样本性质。紧接着，我们利用这两个经验分布函数来构造柯尔莫诺夫-斯米尔诺夫与克莱姆 - 冯·米塞斯检验统计量，研究其极限分布。对了高维单指标模型，我们构造检验过程统计量来进行模型检验，并研究该统计量的渐近性质与数值模拟结果。在应用方面,我们将结合理论研究把上述方法应用到实际建模分析中,体现本项目的应用价值。

高维数据在近20多年来一直是统计学研究的重要问题之一，因其常常出现在医学，经济学，工程学等实际工作与研究领域而备受关注。本项目将重点研究高维半参数模型中的一些参数估计和检验问题，模型主要包括部分线性单指标模型与部分线性变系数模型，也研究了其他相关的半参数模型，如部分线性模型，广义部分线性变系数模型，一般情况下的单指标模型以及高维情形下的参数估计和模型预测问题。 关于假设检验问题，在原假设下，我们利用现有的参数估计方法或者变量选择方法估计模型参数和选择重要的变量，得到模型的残差，并基于残差构造经验分布函数，给出此分布函数的大样本性质。在备择假设下，得到残差与经验分布函数及其大样本性质。最后利用这两个经验分布函数来构造柯尔莫诺夫-斯米尔诺夫与克莱姆 - 冯·米塞斯检验统计量，研究其极限分布。此外，我们也基于该残差构造一系列的检验统计量，如经验过程检验统计量。在应用方面， 我们结合理论研究成果把上述方法分析实际中比较复杂的数据，来体现本项目的应用价值。..本项目在2015年-2017年发表SCI论文14 篇. 本项目完成了预期的研究目标，研究计划要点主要包含：(1) 基于残差构造一系列的检验统计量；(2) 研究检验统计量在原假设和局部备择假设下的渐近分布；(3) 提出合适的重抽样方法，来计算检验统计量的p值； (4) 将提出的模型检验方法应用于实际的数据分析。本项目成功完成了上述4点计划要点。